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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 11:06 Mo 17.10.2011 | | Autor: | Ferolei |
Hallo zusammen,
wir haben in der Vorlesung die folgende Definition gehabt:
[mm] (P,G,I,\perp) [/mm] heißt affine Ebene mit Orthogonalitätsrelation, wenn (P,G,I) eine affine Ebene ist und [mm] \perp \subseteq [/mm] GXG, so dass gilt:
(O1) [mm] \perp [/mm] ist irreflexiv
(O2) [mm] \perp [/mm] ist symmetrisch
(O3) Für g [mm] \perp [/mm] h gilt: g [mm] \perp [/mm] h' <=> h [mm] \parallel [/mm] g
(O4) Zu jeder Geraden g gibt es eine Gerade h mit g [mm] \perp [/mm] h
Dann haben wir daruntern als Bemerkung aufgeschrieben, dass es also ausreicht, eine Abbildung zu finden, die fixelementfrei und involutorisch ist, damit wir eine O.-Relation haben.
Meine Frage ist nun, warum diese beiden Kriterien genügen. Denn ich würde fixelementfrei O1 zuordnen und involutorisch O2.
Aber es müssen doch ALLE Axiome gelten ?!
Liebe Grüße
Ferolei
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Hallo Ferolei!
> Hallo zusammen,
>
> wir haben in der Vorlesung die folgende Definition gehabt:
> [mm](P,G,I,\perp)[/mm] heißt affine Ebene mit
> Orthogonalitätsrelation, wenn (P,G,I) eine affine Ebene
> ist und [mm]\perp \subseteq[/mm] GXG, so dass gilt:
> (O1) [mm]\perp[/mm] ist irreflexiv
> (O2) [mm]\perp[/mm] ist symmetrisch
> (O3) Für g [mm]\perp[/mm] h gilt: g [mm]\perp[/mm] h' <=> h [mm]\parallel[/mm] g
Schreibfehler in (O3)!
> (O4) Zu jeder Geraden g gibt es eine Gerade h mit g [mm]\perp[/mm]
> h
>
> Dann haben wir daruntern als Bemerkung aufgeschrieben, dass
> es also ausreicht, eine Abbildung zu finden, die
> fixelementfrei und involutorisch ist, damit wir eine
> O.-Relation haben.
>
> Meine Frage ist nun, warum diese beiden Kriterien genügen.
> Denn ich würde fixelementfrei O1 zuordnen und
> involutorisch O2.
> Aber es müssen doch ALLE Axiome gelten ?!
Aus der [mm] \textbf{Existenz} [/mm] der fixpunktfreien Involution $f: M [mm] \rightarrow [/mm] M$
(um welche Menge $M$ handelt es sich?) folgt (O3) und (O4) via Definition von [mm] $\perp$: \\
[/mm]
[mm] $\forall [/mm] g,h [mm] \in [/mm] G: g [mm] \perp [/mm] h [mm] :\Leftrightarrow M_h [/mm] = [mm] f(M_g)$ [/mm] (Wie sind die Elemente [mm] $M_h, M_g \in [/mm] M$ definiert?)!
LG mathfunnel
>
> Liebe Grüße
> Ferolei
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