Orthogonalität < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 16:48 Mo 09.05.2005 | | Autor: | Pollux |
Hi,
Gegeben seien zwei Geraden
[mm] G_1 [/mm] = [mm] \{a_1 + \lambda_1 v_1 : \lambda_1 \in \IR \} \subseteq \IR^3 [/mm] und
[mm] G_2 [/mm] = [mm] \{a_2 + \lambda_2 v_2 : \lambda_2 \in \IR \} \subseteq \IR^3
[/mm]
, die nicht parallel und verschieden sind.
Weiterhin sei v [mm] \perp v_1, [/mm] v [mm] \perp v_2.
[/mm]
Dann gibt es eindeutig bestimmte Punkte [mm] x_1 \in G_1 [/mm] und [mm] x_2 \in G_2 [/mm] mit
[mm] x_2 [/mm] - [mm] x_1 [/mm] = [mm] \mu [/mm] v sowie [mm] \parallel x_2 [/mm] - [mm] x_1\parallel [/mm] = min [mm] \{ \parallel v_2 - v_1 \parallel : v_1 \in G_1, v_2 \in G_2 \}
[/mm]
Leider habe ich keine Idee wie ich überhaupt anfangen soll, geschweige denn, wie die Aufgabe zu lösen ist. :-(
mfg
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 20:40 Mo 09.05.2005 | | Autor: | Paulus |
Hallo Pollux
Deine Geraden sind also windschief.
Verschiebe die in Gedanken doch einmal parallel, so dass sie sich schneiden. Dann liegen sie auf einer gemeinsamen Ebene. Aus diesem Gedankenexperiment kannst du vielleicht nachvollziehen, dass der Vektor v senkrecht auf diese Ebene stehen muss. Die Richtung ist also eindeutig bekannt (bis auf das Vorzeichen). Du kannst den Vektor v also bestimmen, indem du eine Ebenengleichung erstellt, mit den Richtungsvektoren deiner zwei gegebenen Geraden.
Du kannst die Ebenengleichung doppelt machen: einmal so, dass die eine Greade in der Ebene liegt, und einmal so, dass die andere Gerade in dieser Ebene liegt. Diese beiden Ebenen sind offenbar parallel zueinander. Du kannst also eindeutig den Abstand dieser Ebenen bestimmen. Dieser Abstand müsste auch die Länge des gesuchten Vektors v sein. Ebenfalls eindeutig bestimmt!
Nun fährst du mit dem Schwanz des Vektors v einfach entlang der einen Geraden und schaust, wo sich die Spur der Spitze mit der anderen Geraden trifft. So errechnen sich die gesuchten Punkte auf den Geraden.
(Eigentlich ergibt sich ja so eine Ebenengleichung, die du einfach nit der anderen Geraden schneidest)
Ich hoffe, diese Tipps konnten dir jetzt ein Wenig helfen.
Mit lieben Grüssen
Paul
|
|
|
|
