Orthogonalität < Geraden und Ebenen < Lin. Algebra/Vektor < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
|
Hey Leute!
Wie kann man die Orthogonalität von einer Ebene in Paramterform und einer Gerade feststellen. Muss ich das Skalarprodukt beider Spannungsvektoren mit dem Richtungsvektor ausrechnen?
Gruss
|
|
| |
|
> Hey Leute!
>
> Wie kann man die Orthogonalität von einer Ebene in
> Paramterform und einer Gerade feststellen. Muss ich das
> Skalarprodukt beider Spannungsvektoren mit dem
> Richtungsvektor ausrechnen?
Richtig: Eine Ebene $E$ und eine Gerade $g$ (im 3dim Raum) sind genau dann orthogonal zueinander, wenn beide Spannvektoren, sagen wir [mm] $\vec{u_1}$ [/mm] und [mm] $\vec{u_2}$, [/mm] der Ebene $E$ auf dem Richtungsvektor [mm] $\vec{v}_g$ [/mm] von $g$ senkrecht stehen. Wenn also [mm] $\vec{u_1}\cdot\vec{v}_g=0$ [/mm] und [mm] $\vec{u_2}\cdot\vec{v}_g=0$ [/mm] ist.
Wenn dies gilt steht nämlich der Richtungsvektor von $g$ (und damit $g$ selbst) senkrecht zu jeder Linearkombination der Spannvektoren [mm] $\vec{u}_1$ [/mm] und [mm] $\vec{u}_2$ [/mm] von $E$ und damit senkrecht zu jedem zur Ebene $E$ parallelen Vektor.
|
|
|
| |
|
> Wenn dies gilt steht nämlich der Richtungsvektor von [mm]g[/mm] (und
> damit [mm]g[/mm] selbst) senkrecht zu jeder Linearkombination der
> Spannvektoren [mm]\vec{u}_1[/mm] und [mm]\vec{u}_2[/mm] von [mm]E[/mm] und damit
> senkrecht zu jedem zur Ebene [mm]E[/mm] parallelen Vektor.
Hey, danke für deine Hilfe. Versteh das nicht genau. Könnte man das noch mit anderen Worten erklären  .
Gruss
|
|
|
| |
|
> > Wenn dies gilt steht nämlich der Richtungsvektor von [mm]g[/mm] (und
> > damit [mm]g[/mm] selbst) senkrecht zu jeder Linearkombination der
> > Spannvektoren [mm]\vec{u}_1[/mm] und [mm]\vec{u}_2[/mm] von [mm]E[/mm] und damit
> > senkrecht zu jedem zur Ebene [mm]E[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
parallelen Vektor.
>
> Hey, danke für deine Hilfe. Versteh das nicht genau. Könnte
> man das noch mit anderen Worten erklären .
Ich versuch's mal, der Versucht könnte allerdings ein eher verwirrendes Ergebnis liefern:
Sei also etwa $E: \vec{x}=\vec{p}+s\vec{u}_1+t\vec{u}_2$ eine Parameterform der Ebene $E$ (mit Stützvektor $\vec{p}$ und Spannvektoren $\vec{u}_1$ und $\vec{u}_2}$).
Sind dann $\vec{x}_1=\vec{p}+s_1\vec{u}_1+t_1\vec{u}_2$ und $\vec{x}_2=\vec{p}+s_2\vec{u}_1+t_2\vec{u}_2$ die Ortsvektoren zweier Punkte $X_1,X_2$ der Ebene $E$ (für geeignet gewählte Parameterwerte $s_1,t_1$ bzw. $s_2,t_2$) so folgt, dass der Verbindungsvektor $\vec{X_1X}_2=\vec{x}_2-\vec{x}_1=(s_2-s_1)\vec{u}_1+(t_2-t_1)\vec{u}_2$ dieser beiden (beliebigen) Punkte eine Linearkombination der Spannvektoren $\vec{u}_1$ und $\vec{u}_2$ von $E$ ist.
Gilt nun für den Richtungsvektor $\vec{v}_g$ der Geraden $g$, dass sowohl $\vec{u}_1\cdot \vec{v}_g=0$ als auch $\vec{u}_2\cdot\vec{v}_g=0$ ist, dann folgt auch, dass $\vec{X_1X}_2\cdot\vec{v}_g=0$ gilt, denn
[mm]\vec{X_1X}_2\cdot\vec{v}_g=\left((s_2-s_1)\vec{u}_1+(t_2-t_1)\vec{u}_2\right)\cdot\vec{v}_g=(s_2-s_1)\vec{u}_1\cdot\vec{v}_g+(t_2-t_1)\vec{u}_2\cdot\vec{v}_g=0+0=0[/mm]
Also steht [mm] $\vec{v}_g$ [/mm] senkrecht auf allen Vektoren, die zwei beliebige Punkte [mm] $X_1, X_2$ [/mm] von $E$ "verbinden" (spricht: senkrecht zu allen Vektoren, die zu $E$ parallel sind).
|
|
|
|
