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Forum "Geraden und Ebenen" - Orthogonalität- Gerade u.Ebene
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Orthogonalität- Gerade u.Ebene: Stimmt diese Lösung?
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 17:04 So 15.10.2006
Autor: DanielBusiness

Aufgabe
Eine Gerade g durch A (2/3/-1) ist orthogonal zur Ebene E. Bestimmen Sie eine  Gleichung von g.

E: [mm] 5x_1 -x_2-3x_3=5 [/mm]

Meine Lösung lautet g: [mm] \vec x[/mm]  = [mm]\begin{pmatrix} 2 \\ 3 \\ -1 \end{pmatrix}[/mm]+t [mm]\begin{pmatrix} 15 \\ -3 \\ -9\end{pmatrix}[/mm]

Eine Regel besagt ja dass eine Gerade g und eine Ebene E zueinander orthogonal sind, wenn Richtungsvektor und Normalenvektor Vielfache voneinander sind. Bin mir aber nicht sicher ob meine Lösung korrekt ist. Würde mich über eine Antwort von euch freuen

Gruß Daniel

PS:Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.

        
Bezug
Orthogonalität- Gerade u.Ebene: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 17:13 So 15.10.2006
Autor: Event_Horizon

So ganz stimmt das nicht.

Schau dir mal die Normalengleichung einer Ebene an:

[mm] $(\vec [/mm] x - [mm] \vec a)*\vec [/mm] n=0$

[mm] \vec{a} [/mm] ist der Aufpunktvektorm, und [mm] \vec{n} [/mm] ist der Normalenvektor. [mm] \vec{x} [/mm] ist einfach [mm] \vektor{x\\y\\z} [/mm]

Wenn du das einsetzt und ausrechnest, erhälst du sowas:

[mm] $(\vec [/mm] x - [mm] \vec a)*\vec [/mm] n=0$

[mm] $\vec x*\vec [/mm] n - [mm] \vec a*\vec [/mm] n=0$

[mm] $xn_1+yn_2+zn_3-(a_1n_1+a_2n_2+a_3n_3)=0$ [/mm]

Vergleiche das Ding mal mit deiner Ebenengleichung! Die Koeffizienten von x,y,z ergeben direkt den  Normalenvektor, also [mm] \vektor{5\\-1\\-3} [/mm]

Also, eigentlich muß da nix gerechnet werden, die Lösung läßt sich sofort hinschreiben.



Bezug
                
Bezug
Orthogonalität- Gerade u.Ebene: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 17:18 So 15.10.2006
Autor: DanielBusiness

Wie lautet dann die korrekte Lösung?

Bezug
                        
Bezug
Orthogonalität- Gerade u.Ebene: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 17:22 So 15.10.2006
Autor: Event_Horizon

Nun, der von mir angegebene Vektor ist einfach der Richtungsvektor der Grade. Dein Aufpunktvektor ist richtig, nur dein Richtungsvektor ist falsch. Nimm also meinen.

Bezug
                                
Bezug
Orthogonalität- Gerade u.Ebene: Einspruch!
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 17:31 So 15.10.2006
Autor: ardik

Hi Ihr,

natürlich ist Daniels Richtungsvektor auch ok!

Alternativ könnte ich auch noch [mm] $\vektor{-70\pi e^2\\14\pi e^2 \\42\pi e^2 }$ [/mm] anbieten ;-)

Aber es ist freilich völlig unnötig, den Normalenvektor noch mit 3 (oder mit [mm] $-14\pi e^2$) [/mm] zu mulitplizieren, um einen geeigneten Richtungsvektor zu erhalten.

Schöne Grüße,
ardik

Bezug
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