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Orthogonales Komplement: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 23:13 Mo 02.11.2009
Autor: rebell-der-sonne

Aufgabe
Es sei [mm] V=P_{2}(\IR), [/mm] versehen mit dem inneren Produkt [mm] =\integral_{0}^{1}{p(x)q(x) dx} [/mm] für alle p,q [mm] \in \IR^2. [/mm] Weiters sei W=[r] mit r(x)=x+2. Bestimmen Sie [mm] W^\perp. [/mm]

Hallo!

da dim(W)=1, müssen 2 Polynome gefunden werden, um [mm] W^\perp [/mm] aufzuspannen, weil ja [mm] dim(V)=dim(W)+dim(W^\perp). [/mm]

eine Gleichung hätte ich angesetzt mit:
[mm] \integral_{0}^{1}{(x+2)*(ax^2+bx+c) dx}=0 [/mm]
Dann kommt mir 11a+16b+30c=0 raus. Dh, alle Polynome 2. Grades, die das erfüllen sind in [mm] W^\perp. [/mm] Aber wie komme ich zum zweiten Polynom? Wenn ich mit [mm] \integral_{0}^{1}{(x+2)*(c) dx}=0 [/mm] ansetze, erhalte ich c = 0. Andererseits muss es ja ein zweites Polynom geben,oder?

MfG Rebell der Sonne

        
Bezug
Orthogonales Komplement: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 23:29 Mo 02.11.2009
Autor: pelzig


> eine Gleichung hätte ich angesetzt mit:
>  [mm]\integral_{0}^{1}{(x+2)*(ax^2+bx+c) dx}=0[/mm]
>  Dann kommt mir
> 11a+16b+30c=0 raus. Dh, alle Polynome 2. Grades, die das
> erfüllen sind in [mm]W^\perp.[/mm] Aber wie komme ich zum zweiten
> Polynom?

Das hast du bereits. Du musst nur zwei linear unabhängige Polynome finden, deren Koeffizienten diese Gleichung oben erfüllen - z.B. eins vom Grad zwei und eins vom Grad eins.

Gruß, Robert

Bezug
                
Bezug
Orthogonales Komplement: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 23:40 Mo 02.11.2009
Autor: rebell-der-sonne

Also zB eins mit a = -16, b= 11 und c= 0 und das zweite hätte a = 0, b=-30, c=16?

Danke!

Bezug
                        
Bezug
Orthogonales Komplement: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 23:44 Mo 02.11.2009
Autor: pelzig

Ja, sieht gut aus...

Gruß, Robert

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Bezug
Orthogonales Komplement: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 23:46 Mo 02.11.2009
Autor: rebell-der-sonne

Dankeschön :)

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