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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 14:29 Mi 29.10.2008 | | Autor: | Tobus |
| Aufgabe | | Zerlegen sie den Vektor v= [mm] \vektor{1 \\ 2 \\ 3} [/mm] in zwei Komponenten, von denen die eine senkrecht zu a = [mm] \vektor{2 \\ 1 \\ 2} [/mm] und die andere parallel zu b= [mm] \vektor{1 \\ 1 \\ 2} [/mm] |
Hallo,
nun habe ich hier ein Problem. Vektor c muss orthogonal zu a sein, d parallel zu b, und c+d=v
Nun gibt es ja (unendlich) viele orthogonale und parallele Vektoren, und ich weiß leider nicht wie ich die passenden finden kann.
Bitte um Hilfe !!
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 14:50 Mi 29.10.2008 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> Zerlegen sie den Vektor v= [mm]\vektor{1 \\ 2 \\ 3}[/mm] in zwei
> Komponenten, von denen die eine senkrecht zu a = [mm]\vektor{2 \\ 1 \\ 2}[/mm]
> und die andere parallel zu b= [mm]\vektor{1 \\ 1 \\ 2}[/mm]
> Hallo,
> nun habe ich hier ein Problem. Vektor c muss orthogonal zu
> a sein, d parallel zu b, und c+d=v
>
> Nun gibt es ja (unendlich) viele orthogonale und parallele
> Vektoren, und ich weiß leider nicht wie ich die passenden
> finden kann.
schreib' doch mal alles auf. Sei [mm] $c=\vektor{c_1 \\ c_2 \\ c_3}$ [/mm] und [mm] $d=\vektor{d_1 \\ d_2 \\ d_3}\,.$
[/mm]
Nun muss gelten:
$c [mm] \perp [/mm] a$, also
1.) [mm] $2c_1+c_2+2c_3=0\,.$
[/mm]
$d [mm] \parallel [/mm] b$, also
2.) $d= [mm] \vektor{r*1 \\ r*1 \\ r*2}$ [/mm] mit einem $r [mm] \not=0\,,$ [/mm] also
2a.) [mm] $d_1=r\,.$
[/mm]
2b.) [mm] $d_2=r\,.$
[/mm]
2c.) [mm] $d_3=2r\,.$
[/mm]
3.)$c+d=v$, also
3a.) [mm] $c_1+d_1=1\,.$
[/mm]
3b.) [mm] $c_2+d_2=2\,.$
[/mm]
3c.) [mm] $c_3+d_2=3\,.$
[/mm]
Kombinierst Du nun 2.) mit 3.), so erhälst Du 3 Gleichungen in den 4 Unbekannten [mm] $c_1,c_2,c_3$ [/mm] und [mm] $r\,.$ [/mm] Unter Einbezug von 1.) folgen also die 4 Gleichungen in den 4 Unbekannten:
(I) [mm] $2c_1+c_2+2c_3=0\,.$
[/mm]
(II) [mm] $c_1+r=1\,.$
[/mm]
(III) [mm] $c_2+r=2\,.$
[/mm]
(IV) [mm] $c_3+2r=3\,.$
[/mm]
Dieses ist nun zu lösen.
Gruß,
Marcel
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:35 Mi 29.10.2008 | | Autor: | Tobus |
hm, bin mir nicht ganz sicher wie ...
wird das dann ein 4x4 lgs ? also:
[mm] \pmat{ 2 & 1 & 1 & 0 \\ 1 & 0 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 1 & 2 } [/mm] = [mm] \vektor{0 \\ 1 \\ 2 \\ 3}
[/mm]
denn da bekomm ich falsche werte raus
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(Antwort) fertig | | Datum: | 22:52 Mi 29.10.2008 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> hm, bin mir nicht ganz sicher wie ...
>
> wird das dann ein 4x4 lgs ? also:
>
> [mm]\pmat{ 2 & 1 & \red{1} & 0 \\ 1 & 0 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 1 & 2 }=\vektor{0 \\ 1 \\ 2 \\ 3}[/mm]
>
> denn da bekomm ich falsche werte raus
der Ansatz ist gut, aber Deine Matrix fehlerhaft und die Notation falsch bzw. sinnlos (links steht eine $4 [mm] \times [/mm] 4$ - Matrix, die nach Deiner Notation ein Spaltenvektor mit $4$ Einträgen sein soll?); ich weiß aber, was Du meinst:
Du solltest schreiben:
[mm] $$\pmat{ 2 & 1 & \green{2} & 0 \\ 1 & 0 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 1 & 2 }*\vektor{c_1\\c_2\\c_3\\r}=\vektor{0 \\ 1 \\ 2 \\ 3}\,.$$
[/mm]
(I) $ [mm] 2c_1+1*c_2+\green{2}*c_3+0*r=0\,. [/mm] $
(II) $ [mm] c_1+0*c_2+0*c_3+1*r=1\,. [/mm] $
(III) [mm] $0*c_1+1*c_2+0*c_3+1*r=2\,. [/mm] $
(IV) [mm] $0*c_1+0*c_2+1*c_3+2*r=3\,. [/mm] $
Rechne es nun noch einmal nach. Ich hoffe, es kommen die gewünschten Werte raus. Wenn nicht, dann kontrollier' vll. nochmal, ob ich hier keine(n) Tippfehler gemacht habe und danach evtl. auch Deine Rechnung auf Fehler.
Gruß,
Marcel
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 23:25 Mi 29.10.2008 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
hier mal zur Kontrolle meine Ergebnisse:
[mm] $$c=\vektor{-3/7\\4/7 \\1/7} \text{ und } d=\vektor{10/7\\10/7 \\20/7} \text{ und damit }r=10/7\,.$$
[/mm]
Gruß,
Marcel
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 16:56 Do 30.10.2008 | | Autor: | Tobus |
super hab ich auch so, vielen dank !!!
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