Orthogonale Zerlegung < Gruppe, Ring, Körper < Algebra < Algebra+Zahlentheo. < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 12:47 Di 24.05.2011 | | Autor: | Khisanth |
| Aufgabe | habe endlichen Körper K und n-dimensionalen K-Vektorraum mit regülärem, (ortho)symmetrischem [mm] \alpha [/mm] -Skalarprodukt
und [mm] Char(K)\not=2 [/mm] . Oberthema ist Orthogonale Zerlegung.
dann soll gelten, dass |K*:K*²| = 2
und somit K*= K*² [mm] \cup [/mm] K*²c mit cK*² |
ich verstehe nicht warum |K*:K*²| unbedingt = 2 ist und vorallem nicht,
warum K*= K*² [mm] \cup [/mm] K*²c (das wäre dann ja eine orthogonale Zerlegung)
gilt bzw woher das c kommt
Ich hoffe mir kann jmd helfen!
Grüße
Ich habe diese Frage auch in folgenden Foren auf anderen Internetseiten gestellt
http://www.matheboard.de/thread.php?threadid=457590
http://www.onlinemathe.de/forum/Beweis-mit-endlichem-Körper-Einheitengruppe-bei-O
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 13:03 Di 24.05.2011 | | Autor: | felixf |
Moin!
> habe endlichen Körper K und n-dimensionalen K-Vektorraum
> mit regülärem, (ortho)symmetrischem [mm]\alpha[/mm]
> -Skalarprodukt
> und [mm]Char(K)\not=2[/mm] . Oberthema ist Orthogonale Zerlegung.
> dann soll gelten, dass |K*:K*²| = 2
> und somit K*= K*² [mm]\cup[/mm] K*²c mit cK*²
>
> ich verstehe nicht warum |K*:K*²| unbedingt = 2 ist und
> vorallem nicht,
> warum K*= K*² [mm]\cup[/mm] K*²c (das wäre dann ja eine
> orthogonale Zerlegung)
> gilt bzw woher das c kommt
Zweiteres ist gerade aequivalent zu [mm] $[K^\ast [/mm] : [mm] (K^\ast)^2] [/mm] = 2$: das bedeutet, dass die Untergruppe [mm] $(K^\ast)^2$ [/mm] von [mm] $K^\ast$ [/mm] genau zwei Nebenklassen hat, naemlich [mm] $(K^\ast)^2$ [/mm] und $c [mm] (K^\ast)^2$ [/mm] mit $c [mm] \in K^\ast \setminus (K^\ast)^2$ [/mm] (jedes $c$ aus dieser Menge liefert genau das gleiche).
Am einfachsten ist es, die Abbildung [mm] $\varphi [/mm] : [mm] K^\ast \to (K^\ast)^2$, [/mm] $x [mm] \mapsto x^2$ [/mm] zu betrachten. Wieviele Elemente hat der Kern? Nach dem Homomorphiesatz gilt [mm] $K^\ast [/mm] / [mm] \ker \varphi \cong (K^\ast)^2$, [/mm] und [mm] $[K^\ast [/mm] : [mm] (K^\ast)^2] [/mm] = [mm] \frac{|K^\ast|}{|(K^\ast)^2|}$ [/mm] nach Lagrange.
Damit kannst du die Behauptung zeigen.
LG Felix
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also sagt mir
|K*:K*²|=2 sozusagen das K* 2 Nebenklassen hat, dafür steht dann die 2.
also lässt sich K* natürlich auch aus der Vereinigung der 2 Nebenklassen darstellen die dann ja K*² und cK*² sind.
Okay, ich verstehe aber noch nicht genau warum cK*² auch eine Nebenklasse ist, bzw woher das c überhaupt kommt.
"(jedes c aus dieser Menge liefert genau das gleiche)"
wahrscheinlich verstehe ich einfach nicht auf welche Aussage sich das bezieht, aber welches "gleiche" liefert das c?
ich sehe auch noch gerade, dass bei der Vereinigung was fehlt.
Und zwar muss da c [mm] \not\in [/mm] K*² stehen.
Ändert sich dann was? Eigentlich deckt sich das ja mit dem $ c [mm] \in K^\ast \setminus (K^\ast)^2 [/mm] $
Okay zu dem Kern, der besteht dann ja nur aus der {0}.
Wie ich den Rest dann durch Lagrange etc zeigen kann, versuch ich mir später nochmal anzugucken. Muss jetzt wieder zur Uni.
Aber danke schonmal!
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 14:24 Do 26.05.2011 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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| Aufgabe | Sei K endlicher Körper mit [mm] Char(K)\not= [/mm] 2 und |K|=q
also somit |K*:K*²|=2
Behauptung: K*² und K*²c mit [mm] c\not\in [/mm] K*² sind die Nebenklassen von K*
und es gilt K*=K*² [mm] \cup [/mm] K*²c |
So, |K*:K*²|=2 dieser Teil ist mir soweit klar, dass sagt dann ja auch gerade aus, dass die Mächtigkeit der Menge der Nebenklassen =2 ist
also existieren 2 Nebenklassen.
Das diese K*² und K*²c mit [mm] c\not\in [/mm] K*² sind ist mir auch relativ klar, bzw. eigentlich hab ich nur eine Frage zu dem c.
Gilt in diesem Fall c=-1 damit (-1)K*²=K*\ K*²
oder bleibt c so stehen und c hat dann
die Wirkung auf jedes Element [mm] \in [/mm] K*² .sodass K*²c= K*\ K*² gilt?
Ich habe diese Frage auch in folgenden Foren auf anderen Internetseiten gestellt:
http://www.matheboard.de/thread.php?threadid=458040
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 19:20 Mo 30.05.2011 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 08:15 Di 31.05.2011 | | Autor: | felixf |
Moin!
> Sei K endlicher Körper mit [mm]Char(K)\not=[/mm] 2 und |K|=q
> also somit |K*:K*²|=2
>
> Behauptung: K*² und K*²c mit [mm]c\not\in[/mm] K*² sind die
> Nebenklassen von K*
> und es gilt K*=K*² [mm]\cup[/mm] K*²c
>
> So, |K*:K*²|=2 dieser Teil ist mir soweit klar, dass sagt
> dann ja auch gerade aus, dass die Mächtigkeit der Menge
> der Nebenklassen =2 ist
> also existieren 2 Nebenklassen.
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
> Das diese K*² und K*²c mit [mm]c\not\in[/mm] K*² sind ist mir
> auch relativ klar, bzw. eigentlich hab ich nur eine Frage
> zu dem c.
>
> Gilt in diesem Fall c=-1 damit (-1)K*²=K*\ K*²
Nicht umbedingt. Es kann sein, dass -1 ein Quadrat ist. (Das ist genau dann der Fall, falls $|K| - 1$ durch 4 teilbar ist: dann gibt es in [mm] $K^\ast$ [/mm] ein Element der Ordnung 4, und dessen Quadrat hat Ordnung 2, und das einzige Element der Ordnung 2 ist eben -1.)
> oder bleibt c so stehen und c hat dann
> die Wirkung auf jedes Element [mm]\in[/mm] K*² .sodass K*²c= K*\
> K*² gilt?
$c$ ist einfach irgendein Nicht-Quadrat. Welches Element du dafuer konkret waehlen kannst weisst du vorher nicht, es sei denn es ist mehr ueber $K$ bekannt.
LG Felix
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