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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 14:25 Di 06.01.2009 | | Autor: | bluebird |
| Aufgabe | Bestimme die orth. Traj. der Bernoulli-Lemniskate:
[mm](x^2+y^2)^2+2a^2(x^2-y^2)=0[/mm] |
Die geg. Gleichung ist meine Kurvenschar mit Parameter (1). Daraus will/muss ich die parameterfreie Gleichung (2) ausrechnen, d.h. ich muss partiell differenzieren, dabei komme ich auf:
[mm]2(x^2+y^2)+4a(2x-2yy')=0[/mm]
Das löse ich nach a auf:
[mm]a=-\bruch{(x^2+y^2)}{4(x-yy')}[/mm]
Wenn ich das in (1) einsetze, um (2) zu erhalten bekomme ich eine Gleichung die mir doch etwas aufwendig aussieht - sind meine Berechnungen soweit korrekt?
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Hallo bluebird,
> Bestimme die orth. Traj. der Bernoulli-Lemniskate:
> [mm](x^2+y^2)^2+2a^2(x^2-y^2)=0[/mm]
> Die geg. Gleichung ist meine Kurvenschar mit Parameter
> (1). Daraus will/muss ich die parameterfreie Gleichung (2)
> ausrechnen, d.h. ich muss partiell differenzieren, dabei
> komme ich auf:
> [mm]2(x^2+y^2)+4a(2x-2yy')=0[/mm]
> Das löse ich nach a auf:
> [mm]a=-\bruch{(x^2+y^2)}{4(x-yy')}[/mm]
> Wenn ich das in (1) einsetze, um (2) zu erhalten bekomme
> ich eine Gleichung die mir doch etwas aufwendig aussieht -
> sind meine Berechnungen soweit korrekt?
Nach meinem Kenntnisstand mußt Du aus der Gleichung
[mm]F\left(x,y,a\right)=(x^2+y^2)^2+2a^2(x^2-y^2)=0[/mm]
den Parameter a eliminieren, und
in die Gleichung der orthogonalen Trajektorien
[mm]F_{y}-F_{x}y'=0[/mm]
,wobei [mm]F_{x}, F_{y}[/mm] die partiellen Ableitungen von F nach x bzw. y sind,
einsetzen.
Gruß
MathePower
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:51 Di 06.01.2009 | | Autor: | bluebird |
Hallo MathePower,
> Nach meinem Kenntnisstand mußt Du aus der Gleichung
>
> [mm]F\left(x,y,a\right)=(x^2+y^2)^2+2a^2(x^2-y^2)=0[/mm]
>
> den Parameter a eliminieren, und
>
> in die Gleichung der orthogonalen Trajektorien
>
> [mm]F_{y}-F_{x}y'=0[/mm]
>
> ,wobei [mm]F_{x}, F_{y}[/mm] die partiellen Ableitungen von F nach x
> bzw. y sind,
>
> einsetzen.
Das ist mir schon klar, indem ich partiell differenziere, nach a auflöse, dieses in die Ausgangsgleichung (1) einsetze und somit a eliminiere mache ich genau das selbe. Daraus erhalte ich dann (2) und daraus dann wieder meine orthogonalen Trajektorien.
Mir geht es allerdings viel mehr darum, ob meine bis jetzt gemachten Berechnungen soweit stimmen, vor allem was das Ergebnis des partiellen Differenzierens anbelangt, bin ich mir sehr unsicher, ob das überhaupt stimmt.
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Hallo bluebird,
> Hallo MathePower,
>
> > Nach meinem Kenntnisstand mußt Du aus der Gleichung
> >
> > [mm]F\left(x,y,a\right)=(x^2+y^2)^2+2a^2(x^2-y^2)=0[/mm]
> >
> > den Parameter a eliminieren, und
> >
> > in die Gleichung der orthogonalen Trajektorien
> >
> > [mm]F_{y}-F_{x}y'=0[/mm]
> >
> > ,wobei [mm]F_{x}, F_{y}[/mm] die partiellen Ableitungen von F nach x
> > bzw. y sind,
> >
> > einsetzen.
>
> Das ist mir schon klar, indem ich partiell differenziere,
> nach a auflöse, dieses in die Ausgangsgleichung (1)
> einsetze und somit a eliminiere mache ich genau das selbe.
> Daraus erhalte ich dann (2) und daraus dann wieder meine
> orthogonalen Trajektorien.
>
> Mir geht es allerdings viel mehr darum, ob meine bis jetzt
> gemachten Berechnungen soweit stimmen, vor allem was das
> Ergebnis des partiellen Differenzierens anbelangt, bin ich
> mir sehr unsicher, ob das überhaupt stimmt.
Ich kann Deine partiellen Differentiation nicht nachvollziehen.
[mm] 2(x^2+y^2)+4a(2x-2yy')=0[/mm]
Ok, Du hast hier implizit abgeleitet, dann müßte aber da stehen:
[mm]2*\left(x^{2}+y^{2}\right)*\left(2x+2yy'\right)+4a^{2}*\left(2x-2yy')=0[/mm]
Gruß
MathePower
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 12:00 Mi 07.01.2009 | | Autor: | bluebird |
Hallo MathePower,
> Ich kann Deine partiellen Differentiation nicht
> nachvollziehen.
>
> [mm]2(x^2+y^2)+4a(2x-2yy')=0[/mm]
die war falsch, wie ich von Anfang an vermutet habe. Habe nun einfach die Angabe ausmultipliziert (so schleichen sich meiner Meinung nach am wenigsten Fehler ein):
[mm]x^4+2x^2*y^2+y^4+2a^2*x^2-2a^2*y^2=0[/mm]
Das partiell abgeleitet und gekürzt komme ich auf:
[mm]x^3+x*y^2+x^2*y*y'+y^3y'+a^2*x-a^2*y*y'[/mm]
Wenn ich damit weiterrechne, komme ich allerdings auf einen riesigen Bruch, wo sich auch nichts kürzt, d.h. ich denke das auch das wieder falsch ist!?
> [mm]2*\left(x^{2}+y^{2}\right)*\left(2x+2yy'\right)+4a^{2}*\left(2x-2yy')=0[/mm]
Bei deiner Ableitung kommt etwas anderes heraus, als bei meiner, aber auch damit wird der Bruch riesig und es kürzt sich nichts.
Welche partielle Ableitung ist nun richtig und wie funktioniert sie "Schritt für Schritt", wenn meine nicht stimmt?
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Hallo bluebird,
> Hallo MathePower,
>
> > Ich kann Deine partiellen Differentiation nicht
> > nachvollziehen.
> >
> > [mm]2(x^2+y^2)+4a(2x-2yy')=0[/mm]
>
> die war falsch, wie ich von Anfang an vermutet habe. Habe
> nun einfach die Angabe ausmultipliziert (so schleichen sich
> meiner Meinung nach am wenigsten Fehler ein):
> [mm]x^4+2x^2*y^2+y^4+2a^2*x^2-2a^2*y^2=0[/mm]
> Das partiell abgeleitet und gekürzt komme ich auf:
> [mm]x^3+x*y^2+x^2*y*y'+y^3y'+a^2*x-a^2*y*y'[/mm]
> Wenn ich damit weiterrechne, komme ich allerdings auf
> einen riesigen Bruch, wo sich auch nichts kürzt, d.h. ich
> denke das auch das wieder falsch ist!?
>
> >
> [mm]2*\left(x^{2}+y^{2}\right)*\left(2x+2yy'\right)+4a^{2}*\left(2x-2yy')=0[/mm]
>
> Bei deiner Ableitung kommt etwas anderes heraus, als bei
> meiner, aber auch damit wird der Bruch riesig und es kürzt
> sich nichts.
>
> Welche partielle Ableitung ist nun richtig und wie
> funktioniert sie "Schritt für Schritt", wenn meine nicht
> stimmt?
Deine natürlich.
Ich habe hier einen Faktor 2 zuviel eingebaut:
[mm]2*\left(x^{2}+y^{2}\right)*\left(2x+2yy'\right)+\blue{2}a^{2}*\left(2x-2yy')=0[/mm]
Dann kann man den Faktor 4 herausziehen und es verbleibt:
[mm]\left(x^{2}+y^{2}\right)*\left(x+yy'\right)+a^{2}*\left(x-yy')=0[/mm]
Gruß
MathePower
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