Orthogonale Spiegelung < Abbildungen+Matrizen < Lin. Algebra/Vektor < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 10:42 So 24.01.2010 | | Autor: | Mandy_90 |
| Aufgabe | Betrachtet wird die lineare Abbildung [mm] f:\IR^{3}\to\IR^{3},welche [/mm] eine orthogonale Spiegelung an der Ebene E:x-y=0 bewirkt.
a) Stellen Sie sie Abbildungsmatrix A auf.
b) Bestimmen Sie die Bildmenge,den Kern und die Fixpunktmenge der Abbildung f. |
Hallo zusammen^^
Irgendwie komme ich bei dieser Aufgabe nicht mehr weiter.Ich weiß nicht,wie ich die Abbildungsmatrix aufstellen soll und hab keine Ahnung wie man an sowas rangeht.
Kann mir bitte jemand einen Tipp geben,wie ich hier anfangen muss?
Vielen Dank
lg
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> Betrachtet wird die lineare Abbildung
> [mm]f:\IR^{3}\to\IR^{3},welche[/mm] eine orthogonale Spiegelung an
> der Ebene E:x-y=0 bewirkt.
>
> a) Stellen Sie sie Abbildungsmatrix A auf.
> b) Bestimmen Sie die Bildmenge,den Kern und die
> Fixpunktmenge der Abbildung f.
Hallo,
um die Abbildungsmatrix aufzustellen, mußt Du wissen, auf welche Vektoren die drei Standardeinheitsvektoren abgebildet werden.
Schauen wir uns erstmal Deine Spiegelung genauer an:
Welches ist der Normalenvektor der Spiegelebene?
Was passiert bei Spiegeln mit Vektoren, die in Richtung des Normalenvektors zeigen?
Und was passiert mit Vektoren, die in der Spiegelebene liegen?
Mach nun folgendes: ergänze den Normalenvektor durch zwei linear unabhängige, zum Normalenvektor senkrechte Vektoren zu einer Basis des [mm] \IR^3.
[/mm]
Bei diesen Vektoren weißt Du genau, was mit ihnen bei der Spiegelung passiert.
Schreibe danach die Standardbasisvektoren als Linearkombination der neuen Basis und berechne dann ihr Bild unter der Spiegelung.
Die Bilder sind die Spalten der gesuchten Matrix.
Ist das eine Aufgabe aus der Schule? Oder von der FH/Uni?
Man kann das auch auf dem Weg über Eigenvektoren und eine Basistransformation lösen, oder vielleicht hattet Ihr die Householdermatrix?
Gruß v. Angela
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 12:34 Mo 25.01.2010 | | Autor: | Mandy_90 |
> > Betrachtet wird die lineare Abbildung
> > [mm]f:\IR^{3}\to\IR^{3},welche[/mm] eine orthogonale Spiegelung an
> > der Ebene E:x-y=0 bewirkt.
> >
> > a) Stellen Sie sie Abbildungsmatrix A auf.
> > b) Bestimmen Sie die Bildmenge,den Kern und die
> > Fixpunktmenge der Abbildung f.
>
>
> Hallo,
>
> um die Abbildungsmatrix aufzustellen, mußt Du wissen, auf
> welche Vektoren die drei Standardeinheitsvektoren
> abgebildet werden.
Ja,so haben wir die Aufgabe gelöst.
>
> Schauen wir uns erstmal Deine Spiegelung genauer an:
>
> Welches ist der Normalenvektor der Spiegelebene?
>
> Was passiert bei Spiegeln mit Vektoren, die in Richtung des
> Normalenvektors zeigen?
>
> Und was passiert mit Vektoren, die in der Spiegelebene
> liegen?
>
>
> Mach nun folgendes: ergänze den Normalenvektor durch zwei
> linear unabhängige, zum Normalenvektor senkrechte
> Vektoren zu einer Basis des [mm]\IR^3.[/mm]
> Bei diesen Vektoren weißt Du genau, was mit ihnen bei der
> Spiegelung passiert.
>
> Schreibe danach die Standardbasisvektoren als
> Linearkombination der neuen Basis und berechne dann ihr
> Bild unter der Spiegelung.
> Die Bilder sind die Spalten der gesuchten Matrix.
>
> Ist das eine Aufgabe aus der Schule? Oder von der FH/Uni?
Diese Aufgabe ist aus der Schule.
>
> Man kann das auch auf dem Weg über Eigenvektoren und eine
> Basistransformation lösen, oder vielleicht hattet Ihr die
> Householdermatrix?
Ne,das hatten wir nicht.
lg
> Gruß v. Angela
>
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