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| Aufgabe | Gegeben sei eine lineare Abbildung [mm] f(\vec{x}) [/mm] = [mm] A\vec{x} [/mm] im [mm] R^3, [/mm] die die Orthogonalprojektion auf
[mm] \vec{x} [/mm] = [mm] \lambda \vektor{2 \\ 1 \\ -2} [/mm] , [mm] \lamdba [/mm] € R
beschreibt.
a) Geben Sie die Eigenwerte und Eigenvektoren von f an.
b) Geben Sie eine orthogonale Basis aus Eigenvektoren von f an.
c) Geben Sie die Matrizen D, T und T^-1 der Zerlegung A = TDT^-1 an.
d) Bestimmen Sie A^100 |
Hallo,
ich bin bei dieser Aufgabe total planlos...
Eigenwerte und Eigenvektoren habe ich bisher immer von einer Matrix bestimmen müssen.
Mit dieser Aufgabenstellung komme ich jedoch nicht zurecht.
Soll ich die dazugehörige Matrix bestimmen? Wenn ja, wie?
Ich bin für jeden Rat sehr dankbar.
Mit freundlichen Grüßen,
Pingumane
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 16:35 Sa 12.09.2015 | | Autor: | hippias |
Ja, Du kannst ersteinmal die Matrixdarstellung der orthogonalen Projektion bestimmen. Dazu genuegt es eine Basis des Raumes zu bestimmen und die Bilder der Basis unter der Abbildung zu betrachten. Hier ist es besonders zweckmaessig, wenn Du nicht irgendeine Basis waehlst, sondern sie so konstruierst: Bestimme eine Basis des Raumes, auf den projiziert wird. Dann bestimme eine Basis des orthogonalen Komplements. Diese beiden Basen zusammen bilden eine Basis des ganzen Raumes, in der sich Deine Aufgabe gut bearbeiten laesst.
Sich nocheinmal die definierenden Eigenschaften einer Orthoprojektion ins Gedaechtnis zu rufen, sollte auch nicht schaden.
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Danke für die Antwort.
Im Skript finde ich nichts zu orthongalen Projektionen, lediglich orthogonale Matrizen.
Ich finde auch leider keine Übungen oder hilfreiche Erklärungen im Internet zu diesem Problem.
Ein Video bezog sich auf ein ähnliches Problem, jedoch war dort sowohl der Vektor, als auch der Projektionsvektor gegeben und daraus wurde die Matrix berechnet.
A * Vektor = proj. Vektor
Aber hier habe ich ja nur die Projektion gegeben.
Verfolgen wir nun erst einmal deinen Vorschlag. Ich möchte eine Basis des Raumes, auf den projeziert wird.
D.h. ich möchte einen Vektor finden, der orthogonal zu [mm] \vektor{2 \\ 1 \\ -2} [/mm] ist.
Zwei Vektoren sind orthogonal, wenn ihr Skalarprodukt 0 ergibt.
[mm] \vektor{2 \\ 1 \\ -2} [/mm] * [mm] \vektor{1 \\ 0 \\ 1} [/mm] = 0
Den nächsten Basisvektor erhalte ich durch das Kreuzprodukt:
[mm] \vektor{2 \\ 1 \\ -2} [/mm] x [mm] \vektor{1 \\ 0 \\ 1} [/mm] = [mm] \vektor{1 \\ -4 \\ -1}
[/mm]
"Dann bestimme eine Basis des orthogonalen Komplements."
Was genau ist damit gemeint? Und wie bestimme ich dann damit die gesuchte Matrix?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 18:58 Sa 12.09.2015 | | Autor: | fred97 |
> Danke für die Antwort.
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> Im Skript finde ich nichts zu orthongalen Projektionen,
> lediglich orthogonale Matrizen.
> Ich finde auch leider keine Übungen oder hilfreiche
> Erklärungen im Internet zu diesem Problem.
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> Ein Video bezog sich auf ein ähnliches Problem, jedoch war
> dort sowohl der Vektor, als auch der Projektionsvektor
> gegeben und daraus wurde die Matrix berechnet.
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> A * Vektor = proj. Vektor
>
> Aber hier habe ich ja nur die Projektion gegeben.
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> Verfolgen wir nun erst einmal deinen Vorschlag. Ich möchte
> eine Basis des Raumes, auf den projeziert wird.
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> D.h. ich möchte einen Vektor finden, der orthogonal zu
> [mm]\vektor{2 \\ 1 \\ -2}[/mm] ist.
>
> Zwei Vektoren sind orthogonal, wenn ihr Skalarprodukt 0
> ergibt.
>
> [mm]\vektor{2 \\ 1 \\ -2}[/mm] * [mm]\vektor{1 \\ 0 \\ 1}[/mm] = 0
>
> Den nächsten Basisvektor erhalte ich durch das
> Kreuzprodukt:
>
> [mm]\vektor{2 \\ 1 \\ -2}[/mm] x [mm]\vektor{1 \\ 0 \\ 1}[/mm] = [mm]\vektor{1 \\ -4 \\ -1}[/mm]
>
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> "Dann bestimme eine Basis des orthogonalen Komplements."
>
> Was genau ist damit gemeint? Und wie bestimme ich dann
> damit die gesuchte Matrix?
>
>
>
f hat als orthogonale Proj. die Eigenschaften:
[mm] f^2=f
[/mm]
und
f symmetrisch.
Setzen wir U:= lineare Hülle von $ [mm] \vektor{2 \\ 1 \\ -2} [/mm] $, so ist (das hast Du korrekt berechnet) das orthogonale Komplement [mm] U^{\perp} [/mm] gegeben durch die
lineare Hülle von $ [mm] \vektor{1 \\ 0 \\ 1} [/mm] $ und $ [mm] \vektor{1 \\ -4 \\ -1} [/mm] $.
Eine Basis von U ist also $ [mm] \vektor{2 \\ 1 \\ -2} [/mm] $ und eine Basis von [mm] U^{\perp} [/mm] ist $ [mm] \vektor{1 \\ 0 \\ 1} [/mm] $ , $ [mm] \vektor{1 \\ -4 \\ -1} [/mm] $
Mach Dir klar:
Bild(f)=U, [mm] f(\vektor{2 \\ 1 \\ -2})=\vektor{2 \\ 1 \\ -2},
[/mm]
Kern (f)= [mm] U^{\perp}, [/mm] f( [mm] \vektor{1 \\ 0 \\ 1})=f(\vektor{1 \\ -4 \\ -1})=\vektor{0 \\ 0 \\ 0}.
[/mm]
f hat also nur die Eigenwerte 0 und 1.
Kommst Du damit weiter ?
FRED
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Hallo fred97,
leider nicht. Ich bin auf einer FH, und als ich das letzte mal bei der Klausur bei einer Argumentation etwas von Kern geschrieben habe, wurde ich bei der Einsicht verdutzt angeschaut und gefragt, ob ich von der TH zur FH gewechselt bin. Ich hatte mir lediglich Videos dazu im Internet angeschaut und das so aufgeschnappt.
Dieses mal versuche ich so nah wie nur möglich an unserer FH Lehre zu bleiben. Beunruhigend finde ich jedoch, dass dieses Thema weder im Skript, noch in den Übungen, noch in den Hausaufgaben thematisiert wurde, aber vor 2 Monaten einfach als Klausuraufgabe gestellt wurde.
Was soll's. Tut mir Leid, dass ich abgedriftet bin...
Weshalb hat f die Eigentwerte 0 und 1?
Genau das steht in der Lösung auch, 0 für den Projektionsvektor und jeweils 1 für die orthog. Vektoren.
Nur warum verstehe ich noch nicht.
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> Weshalb hat f die Eigentwerte 0 und 1?
>
> Genau das steht in der Lösung auch, 0 für den
> Projektionsvektor und jeweils 1 für die orthog. Vektoren.
> Nur warum verstehe ich noch nicht.
Hallo,
die Lösung paßt nicht richtig gut zu der von Dir geposteten Aufgabenstellung.
Oder hieß es statt
"Orthogonalprojektion [mm] \red{auf} [/mm] $ [mm] \vec{x} [/mm] $ = $ [mm] \lambda \vektor{2 \\ 1 \\ -2} [/mm] $ , $ [mm] \lambda [/mm] $ [mm] \in \IR [/mm] "
vielleicht
"Orthogonalprojektion [mm] \red{entlang} [/mm] $ [mm] \vec{x} [/mm] $ = $ [mm] \lambda \vektor{2 \\ 1 \\ -2} [/mm] $ , $ [mm] \lambda [/mm] $ [mm] \in \IR [/mm] "?
Es ist so:
alle Vektoren des Raumes, auf welchen projiziert wird, werden auf sich selbst abgebildet, also auf das 1-fache des Vektors --> Eigenwert ist 1,
alle Vektoren in Projektionsrichtung, also die die orthogonal zu dem Raum, auf den projiziert wird, sind, werden auf den Nullvektor abgebildet, also auf das 0-fache ihrer selbst --> Eigenwert ist 0.
LG Angela
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 21:55 Sa 12.09.2015 | | Autor: | Pingumane |
Alles klar, vielen Dank für die Erläuterung!
Die Aufgabenstellung habe ich noch einmal überprüft und das steht tatsächlich so da.
Aber ich gebe noch die exakte Lösung an, meine Formulierung war einfach nur so hingesagt, vielleicht war das mathematisch falsch :)
Lösung:
[mm] \lambda_{1} [/mm] = 1 mit [mm] \vec{x}_{1} [/mm] = [mm] \vektor{2 \\ 1 \\ -2}
[/mm]
[mm] \lambda_{2,3} [/mm] = 0 mit [mm] \vec{x}_{2} [/mm] = [mm] \vektor{1 \\ 0 \\ 1} [/mm] , [mm] \vec{x}_{3} [/mm] = [mm] \vektor{1 \\ -4 \\ -1}
[/mm]
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Achso.
So paßt's dann!
LG Angela
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 08:46 So 13.09.2015 | | Autor: | fred97 |
> Gegeben sei eine lineare Abbildung [mm]f(\vec{x})[/mm] = [mm]A\vec{x}[/mm] im
> [mm]R^3,[/mm] die die Orthogonalprojektion auf
>
> [mm]\vec{x}[/mm] = [mm]\lambda \vektor{2 \\ 1 \\ -2}[/mm] , [mm]\lamdba[/mm] € R
>
> beschreibt.
>
Zur Formulierung: besser wäre es, von der Orthogonalprojektion auf den Unterraum
[mm] \{\lambda *\vektor{2 \\ 1 \\ -2} : \lambda \in \IR \}
[/mm]
zu reden.
FRED
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