Orthogonale Matrix < Matrizen < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | A = [mm] \pmat{ a & \bruch{1}{2} & 0 \\ b & a & 0 \\ 0 & 0 & 1 }
[/mm]
a < 0 , b [mm] \in \IR
[/mm]
Orthogonale Matrix ? |
Hallo,
ich bin mir nicht sicher, ob mein Lösungsweg richtig ist.
Eine Ortholgonale Matrix ist gegeben ,wenn sie quadratisch und
A * [mm] A^{t} [/mm] = E gegeben ist.
[mm] A^{t} [/mm] = [mm] \pmat{ a & b & 0 \\ \bruch{1}{2} & a & 0 \\ 0 & 0 & 1 }
[/mm]
E = [mm] \pmat{ 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 }
[/mm]
nun müsste ja das ergebnis eine Einheitsmatrix sein ,ist dies nicht der fall dann ist sie nicht orthogonal.
A * [mm] A^{t} [/mm] = [mm] \pmat{ \bruch{1}{4} + a^{2} & a(b+\bruch{1}{2}) & 0 \\ a(b+\bruch{1}{2}) & b^{2}+a^{2} & 0 \\ 0 & 0 & 1 }
[/mm]
[mm] \Rightarrow [/mm] Keine orthogonale Matrix ,da [mm] A*A^{t} \not= [/mm] E
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 17:44 Do 21.04.2011 | | Autor: | Blech |
Hi,
[mm] >$\Rightarrow$ [/mm] Keine orthogonale Matrix ,da $ [mm] A\cdot{}A^{t} \not= [/mm] E$
Ich seh nicht, woraus das folgen sollte. Das hätte ich gern ausführlich.
ciao
Stefan
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 18:06 Do 21.04.2011 | | Autor: | word-life |
Def.: Eine Matrix A ist orthogonal, wenn gilt A * [mm] A^{T} [/mm] = E
Falls A quadratisch ist ,so ist [mm] A^{T} [/mm] = [mm] A^{-1}
[/mm]
Beweis:
A * [mm] A^{T} [/mm] = E | * [mm] A^{-1}
[/mm]
[mm] \Rightarrow [/mm] ( [mm] A^{-1} [/mm] * A) * [mm] A^{T} [/mm] = [mm] A^{-1} [/mm] * E
[mm] \Rightarrow [/mm] E * [mm] A^{T} [/mm] = [mm] A^{-1} [/mm] * E
[mm] \gdw A^{T} [/mm] = [mm] A^{-1}
[/mm]
Transponierte Matrix A ist gleich der inversen Matrix A , wenn sie quadratisch ist. Eine Matrix ist quadratisch ,wenn m=n ist bzw. Anzahl der Spalten gleich Anzahl der Zeilen ist.
Das bedeutet ja, das die Matrix A mal die transponierte Matrix A gleich der Einheitsmatrix E ist. Dann ist Matrix A orthogonal
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> A = [mm]\pmat{ a & \bruch{1}{2} & 0 \\
b & a & 0 \\
0 & 0 & 1 }[/mm]
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> a < 0 , b [mm]\in \IR[/mm]
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> Orthogonale Matrix ?
Hallo,
ist es wirklich zuviel verlangt, die Aufgabenstellung im Originalwortlaut zu posten?
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> Hallo,
> ich bin mir nicht sicher, ob mein Lösungsweg richtig
> ist.
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> Eine Ortholgonale Matrix ist gegeben ,wenn sie quadratisch
> und
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> A * [mm]A^{t}[/mm] = E gegeben ist.
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> [mm]A^{t}[/mm] = [mm]\pmat{ a & b & 0 \\
\bruch{1}{2} & a & 0 \\
0 & 0 & 1 }[/mm]
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> E = [mm]\pmat{ 1 & 0 & 0 \\
0 & 1 & 0 \\
0 & 0 & 1 }[/mm]
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> nun müsste ja das ergebnis eine Einheitsmatrix sein ,ist
> dies nicht der fall dann ist sie nicht orthogonal.
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> A * [mm]A^{t}[/mm] = [mm]\pmat{ \bruch{1}{4} + a^{2} & a(b+\bruch{1}{2}) & 0 \\
a(b+\bruch{1}{2}) & b^{2}+a^{2} & 0 \\
0 & 0 & 1 }[/mm]
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> [mm]\Rightarrow[/mm] Keine orthogonale Matrix ,da [mm]A*A^{t} \not=[/mm] E
Warum?
Ist es nicht denkbar, daß man bei Wahl geeigneter a,b doch eine Einheitsmatrix bekommt?
Gruß v. Angela
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> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.
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