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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 17:10 Mi 07.10.2009 | | Autor: | harr |
| Aufgabe | | Es sei [mm]f: V -> V[/mm] ein orthogonaler Endomorphismus des endlich-dimensionalen euklidischen [mm]\IR[/mm]-Vektorraums V derart, dass [mm]-1[/mm] nicht Eigenwert von [mm]f[/mm] ist. Zeigen Sie die Existenz eines orthogonalen Endomorphismus [mm]g: V->V[/mm] mit [mm]f = g^2[/mm]. |
Da [mm]f\in\ O(V)[/mm] ist, folgt, dass [mm]1[/mm] und [mm]-1[/mm] die einzigen Eigenwerte sind. Nun gilt nach Vor., dass [mm]-1[/mm] kein Eigenwert ist, also ist das charakteristische Polynom [mm]\chi_f (T) = (T-1)^n[/mm] wobei [mm]n = dim (V)[/mm]
Nun ist [mm]f \in O(V)[/mm], also ex. eine Orthonormalbasis von V derart, dass [mm]f[/mm] eine Darstellung der Form [mm]M^B _B (f) = \oplus_{i=1}^s A_i[/mm] mit [mm]A_i \in \{I_1 , -I_1 , A(\theta ) \}[/mm] für [mm]s\le n[/mm]. ( [mm]A(\theta ) = \begin{pmatrix}
cos(\theta ) & -sin(\theta ) \\
sin(\theta ) & cos(\theta )
\end{pmatrix}[/mm] ist die Drehmatrix um den Winkel [mm]\theta[/mm] )
Da [mm]\chi_f (T) = \produkt_{i=1}^s \chi_A_i (T)[/mm] folgt, dass [mm]A_i \not= -I_1 , \quad i \le s[/mm]
Ist [mm]A_i = A(\theta )[/mm] für ein [mm]i \le s[/mm], so muss [mm]\chi_{A(\theta )} (T) = (cos(\theta ) - T)^2 + sin(\theta )^2[/mm]
ein Teiler von [mm]\chi_f[/mm] sein.
Angenommen [mm]\chi_{A(\theta )} (T) = 0[/mm] für ein [mm]T \in \IR[/mm], so muss [mm]T=1[/mm] sein, denn sonst wäre [mm]T \not= 1[/mm] weiterer Eigenwert von [mm]f[/mm]. Also gilt [mm]0 = \chi_{A(\theta )} (1) = (cos(\theta) - 1)^2 + sin(\theta)^2 = 2 -2*cos(\theta) = 2*(1-cos(\theta)) \gdw 1-cos(\theta) = 0 \gdw 1=cos(\theta) \gdw \theta = 0[/mm]. Dies bedeutet, dass [mm] A(\theta) = A(0) = \begin{pmatrix}
1 & 0 \\
0 & 1
\end{pmatrix}[/mm] und somit [mm] M^B_B(f)=\oplus_{i=1}^s A_i[/mm] mit [mm]A_i = I_1[/mm] für [mm]1 \le i \le n[/mm]. Also ist [mm]M_B^B(f) = I_n[/mm]
Definiere nun [mm]g:= -id_V[/mm] dann ist [mm]g \in O(V)[/mm] und [mm]g^2 = (-id_V)^2 = id_V = f[/mm] Somit ex. ein orth. End. [mm]g: V->V[/mm] mit [mm]f = g^2[/mm].
So weit bin ich gekommen, nur soll ich angeblich etwas übersehen haben (gab nur 5/10 Pkt für die Aufgabe), deshalb bitte ich um helfende Anregungen.
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 17:49 Mi 07.10.2009 | | Autor: | felixf |
Hallo!
> Es sei [mm]f: V -> V[/mm] ein orthogonaler Endomorphismus des
> endlich-dimensionalen euklidischen [mm]\IR[/mm]-Vektorraums V
> derart, dass [mm]-1[/mm] nicht Eigenwert von [mm]f[/mm] ist. Zeigen Sie die
> Existenz eines orthogonalen Endomorphismus [mm]g: V->V[/mm] mit [mm]f = g^2[/mm].
>
> Da [mm]f\in\ O(V)[/mm] ist, folgt, dass [mm]1[/mm] und [mm]-1[/mm] die einzigen
> Eigenwerte sind.
Das ist Quark: das sind die einzigen reellen Eigenwerte. Orthogonale Matrizen haben aber oft auch noch komplexe Eigenwerte (mit Betrag 1), die von Rotationsanteilen herrühren.
Falls eine orthogonale Matrix nur 1 als Eigenwert hat, ist sie bereits die Einheitsmatrix.
> Nun gilt nach Vor., dass [mm]-1[/mm] kein Eigenwert
> ist, also ist das charakteristische Polynom [mm]\chi_f (T) = (T-1)^n[/mm]
> wobei [mm]n = dim (V)[/mm]
Nein.
> Nun ist [mm]f \in O(V)[/mm], also ex. eine Orthonormalbasis von V
> derart, dass [mm]f[/mm] eine Darstellung der Form [mm]M^B _B (f) = \oplus_{i=1}^s A_i[/mm]
> mit [mm]A_i \in \{I_1 , -I_1 , A(\theta ) \}[/mm] für [mm]s\le n[/mm]. (
> [mm]A(\theta ) = \begin{pmatrix}
cos(\theta ) & -sin(\theta ) \\
sin(\theta ) & cos(\theta )
\end{pmatrix}[/mm]
> ist die Drehmatrix um den Winkel [mm]\theta[/mm] )
Ja.
> Da [mm]\chi_f (T) = \produkt_{i=1}^s \chi_A_i (T)[/mm] folgt, dass
> [mm]A_i \not= -I_1 , \quad i \le s[/mm]
Genau.
> Ist [mm]A_i = A(\theta )[/mm] für ein [mm]i \le s[/mm], so muss
> [mm]\chi_{A(\theta )} (T) = (cos(\theta ) - T)^2 + sin(\theta )^2[/mm]
> ein Teiler von [mm]\chi_f[/mm] sein.
> Angenommen [mm]\chi_{A(\theta )} (T) = 0[/mm] für ein [mm]T \in \IR[/mm], so
> muss [mm]T=1[/mm] sein, denn sonst wäre [mm]T \not= 1[/mm] weiterer
> Eigenwert von [mm]f[/mm].
Genau.
> Also gilt [mm]0 = \chi_{A(\theta )} (1)[/mm]
Wieso sollte das gelten?! Aus [mm] $\chi_{A(\theta)}(T) \neq [/mm] 0$ fuer $T [mm] \neq [/mm] 1$ muss doch nicht [mm] $\chi_{A(\theta)}(1) [/mm] = 0$ folgen!
> [mm]{}= (cos(\theta) - 1)^2 + sin(\theta)^2 = 2 -2*cos(\theta) = 2*(1-cos(\theta)) \gdw 1-cos(\theta) = 0 \gdw 1=cos(\theta) \gdw \theta = 0[/mm].
> Dies bedeutet, dass [mm]A(\theta) = A(0) = \begin{pmatrix}
1 & 0 \\
0 & 1
\end{pmatrix}[/mm]
Nein.
> und somit [mm]M^B_B(f)=\oplus_{i=1}^s A_i[/mm] mit [mm]A_i = I_1[/mm] für [mm]1 \le i \le n[/mm].
> Also ist [mm]M_B^B(f) = I_n[/mm]
Nein, es ist nicht nur die Einheitsmatrix. Es koennen beliebige Drehungen sein.
Du kannst die Voraussetzung auch abaendern, dass die Vielfacheit der Eigenwert -1 gerade ist (anstelle gleich 0).
LG Felix
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 18:05 Mi 07.10.2009 | | Autor: | harr |
> das sind die einzigen reellen Eigenwerte.
und da liegt der Hund begraben... ich danke. Hat sich irgendwie festgefahren in meinem Kopf, dass 1 und -1 die einzigen eigenwerte seien.
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