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(Frage) überfällig  | | Datum: | 21:33 So 04.05.2008 | | Autor: | Woaze |
| Aufgabe | Sei V ein endlichdimensionaler reeller Vektorraum und f: V [mm] \to [/mm] V eine orthogonale Abbildung, so daß [mm] v_{1}, v_{2} \in [/mm] V existieren mit
[mm] f(v_{1}) [/mm] = [mm] av_{1} [/mm] - [mm] bv_{2}
[/mm]
[mm] f(v_{2}) [/mm] = [mm] bv_{1} [/mm] + [mm] av_{2}
[/mm]
für a,b [mm] \in \IR.
[/mm]
Zeigen Sie, daß dann [mm] \lambda [/mm] = a + ib ein (komplexer) Eigenwert von f ist und [mm] [/mm] = 0 gilt. |
Könnte bitte jemand meine Lösung prüfen und verbessern.
Ich dachte ich fange mit dem Zweiten an, mit dem Skalarprodukt.
Es lässt sich eine ortonormale Basis b finden, so dass [mm] v_{1} [/mm] = [mm] \summe_{i=1}^{n} \alpha_{i}b_{i} [/mm] und [mm] v_{2} [/mm] = [mm] \summe_{i=1}^{n} \beta_{i}b_{i}
[/mm]
und somit [mm] [/mm] = [mm] \summe_{i=1}^{n} \alpha_{i}\beta_{i} [/mm] = [mm] [/mm] = [mm] <\summe_{i=1}^{n} ((a\beta_{i} [/mm] - [mm] b\alpha_{i})(b\alpha_{i} [/mm] + [mm] a\beta_{i}) [/mm] und dann muss wohl [mm] \alpha_{i} [/mm] = 0 und [mm] \beta_{i} [/mm] = 0 für alle i gelten.
Wenn ich nun eine Basis wähle, so dass v1 und v2 elemente der Basis sind, dann kann ich eine Matrix finden die wirklich den oben angegeben eigenwert hat. Ich will dass jetzt bloß nicht alles aufschreiben. Wichtig ist mir nur, ob ich das alles so machen darf.
Vielen Dank für eure Hilfe.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 22:28 Di 06.05.2008 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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