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| Aufgabe | Sie V ein euklidischer Vektorraum mit Skalarprodukt [mm] \Phi [/mm] : V [mm] \times [/mm] V [mm] \to \IR [/mm] und sei f : V [mm] \to [/mm] V eine [mm] \IR [/mm] - lineare Abbildung.
Zeigen Sie, dass folgende Bedingungen äquivalent sind:
a) f ist orthogonal.
b) Für alle v [mm] \in [/mm] V gilt: [mm] ||f(v)||_{\Phi} [/mm] = [mm] ||v||_{\Phi}.
[/mm]
c) Für eine beliebige Basis B = [mm] {\{v_{1},...,v_{n}\}} [/mm] von V gilt
[mm] \Phi(f(v_{i},f(v_{j}) [/mm] = [mm] \Phi(v_{i}, v_{j})
[/mm]
für alle i,j = 1, ..., n. |
Hallo,
bei dieser Aufgabe fehlt mir leider der Ansatz, ich kenne zwar die Bedingungen, hab sie aber immer als Gott-gegeben angesehen und beim Beweis....naja.
Danke im Voraus.
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Hiho,
ich hab anfangs eine kleine Frage: Wie habt ihr die Orthogonalität von f definiert?
Bei mir wars damals nämlich so, daß einfach definiert wurde:
f orthogonal [mm] \gdw [/mm] c)
allerdings würde das hier wenig Sinn machen, da du es ja sonst nicht zeigen müsstest.
Also zeig ich dir erstmal b) [mm] \gdw [/mm] c)
Fangen wir an mit der Rückrichtung, also zeigen wir zuerst c) [mm] \Rightarrow [/mm] b)
Das ist nämlich trivial 
Sei v [mm] \in [/mm] V, dann gilt durch c):
[mm]\Phi(f(v),f(v)) = \Phi(v, v)[/mm]
[mm]\gdw ||f(v)||^2_{\Phi} = ||v||^2_{\Phi}[/mm]
[mm]\gdw ||f(v)||_{\Phi} = ||v||_{\Phi}[/mm]
Die Hinrichtung bekommst du bestimmt auch alleine hin:
also z.z. b) [mm] \Rightarrow [/mm] c)
Als Tip:
Wegen b) gilt: [mm]||f(v_i-v_j)||_\Phi = ||v_i-v_j||_\Phi[/mm]
[mm] \gdw ||f(v_i-v_j)||^2_\Phi = ||v_i-v_j||^2_\Phi[/mm]
[mm] \gdw \Phi(f(v_i-v_j),f(v_i-v_j)) = \Phi(v_i-v_j,v_i-v_j) [/mm]
So, nun benutze die Linearität von f, die Eigenschaften des Skalarprodukts und berücksichtige b) nochmal, dann kommt raus:
[mm]\Phi(f(v_i),f(v_j)) = \Phi(v_i,v_j) [/mm] q.e.d
So, zu a) musst du mir nochmal was schreiben und wenn Fragen sind, einfach raus damit
Gruß,
Gono.
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Hey, erstmal danke für die Antwort.
Also die Rückrichtung ist wirklich trivial, aber die Hinrichtung nicht so wirklich. Also gut, du sagst es gilt wegen b)
[mm] ||f(v_{i}-v_{j})||_{\Phi} [/mm] = [mm] ||v_{i}-v_{j}||_{\Phi}
[/mm]
.....
[mm] \gdw \Phi(f(v_{i}-v_{j}),f(v_{i}-v_{j})) [/mm] = [mm] \Phi(v_{i}-v_{j},v_{i}-v_{j})
[/mm]
dann soll ich die Linearität von f ausnutzen, also quasi
[mm] \gdw \Phi(f(v_{i})-f(v_{j}),f(v_{i})-f(v_{j})) [/mm] = [mm] \Phi(v_{i}-v_{j},v_{i}-v_{j})
[/mm]
Mit den Eigenschaften des Skalarprodukts kann ich irgendwie nichts weiter anfangen, also ich denke mal positive definitheit, symmetrie, usw. kann ich zu diesem zeitpunkt noch nicht verwenden, aber ich dachte mir ein skalarprodukt ist eine bilinearform und man könnte die ganze sache weiter auseinanderziehen, ist aber leider nichts wirklich gutes bei raus gekommen und ich dachte mir bevor ich diesen dunklen Weg beschreite frage ich lieber noch mal nach...
Zur Definition der orthogonalen Abbildung:
Sei V ein n-dimensionaler euklidischer Vektorraum mit Skalarprodukt [mm] \Phi [/mm] : V [mm] \times [/mm] V [mm] \to \IR
[/mm]
Eine [mm] \IR [/mm] - lineare Abbildung f : V [mm] \to [/mm] V heißt orthogonal, wenn für alle v,w [mm] \in [/mm] V gilt:
[mm] \Phi(f(v),f(w)) [/mm] = [mm] \Phi(v,w)
[/mm]
Das ist ja praktisch Aufgabe c), nur dass bei c) noch steht "Für eine beliebige Basis (...)", aber eine andere Basis hat doch keinen Einfluss auf diese Eigenschaft oder?
Dankeschön im Voraus
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AAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAH........ ich verstehs^^
Ok, also betrachten wir uns die Definition von Orthogonalität:
Eine [mm]\IR[/mm] - lineare
Abbildung f : V [mm]\to[/mm] V heißt orthogonal, wenn für alle v,w
[mm]\in[/mm] V gilt:
[mm]\Phi(f(v),f(w))[/mm] = [mm]\Phi(v,w)[/mm]
In der Definition steht also drin, daß die Eigenschaft für ALLE Vektoren in V gilt, die Aussage von c) ist aber, daß wenn diese Eigenschaft nur für die Basisvektoren (und nicht für alle Vektoren) gilt, daß f schon dann orthogonal ist. Ich hatte übersehen, daß dies dann nur für die Basisvektoren gelten soll und hatte fälschlicherweise angenommen, daß es für alle Vektoren gilt (also letztendlich die Aussage a).
Insofern ist sogar meine Beweisführung falsch, entspricht dafür aber der, die man bei a) [mm] \gdw [/mm] b) führen muss.
Also ist a) => b) trivial (wie wir ja gesehen haben) und wir zeigen jetzt die Rückrichtung b) => a) (vorgehensweise bleibt die gleiche, um c) kümmern wir uns später).
> [mm]\gdw \Phi(f(v-w}),f(v-w))[/mm] =
> [mm]\Phi(v-w,v-w)[/mm]
>
> dann soll ich die Linearität von f ausnutzen, also quasi
>
> [mm]\gdw \Phi(f(v)-f(w),f(v)-f(w))[/mm] =
> [mm]\Phi(v-w},v-w)[/mm]
Ich habe in dem Zitat mal die Vektoren durch v und w ersetzt, da wir ja eigentlich a) zeigen wollen (ich könnt mich immer noch drüber aufregen, daß ich das mit der Basis übersehen habe^^)
Soweit sind deine Umformungen richtig. Dein Ansatz mit der Bilinearform und dem Auseinanderziehen war auch richtig und führt auch zum Ziel. Nehme die Skalarprodukte auf beiden Seiten soweit wie möglich auseinander und beachte dann, daß b) also [mm]\Phi(f(v),f(v)) = \Phi(v,v)[/mm] gilt!
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zu c) würde ich dir empfehlen zu zeigen, daß a) [mm] \gdw [/mm] c) gilt (da du ja a) [mm] \gdw [/mm] b) dann schon gezeigt hast, gilt automatisch b) [mm] \gdw [/mm] c)).
a) => c) trivial
c) => a)
Hier sollst du ja mithilfe von c) zeigen, daß [mm]\Phi(f(v),f(w)) = \Phi(v,w)[/mm] für alle Vektoren gilt (und nicht nur für die Basisvektoren  )
Als Tip:
Betrachte [mm] \Phi(f(v),f(w)) [/mm] mit [mm]v,w \in V[/mm] und überlege dir folgende Schritte:
1.)Da B eine Basis von V ist, lassen sich die Vektoren wie darstellen?
2.)f ist linear, also gilt was?
3.)Skalarprodukt ist bilinear!
4.)c) kann man auch mal anwenden
5.)Skalarprodukt ist immer noch bilinear, darum kann mans auch zusammenziehen
6.)Wie sahen v,w nochmal aus? ;)
Gruß,
Gono.
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Hallo, ich habe jetzt soweit alle Sachen fertig, verzweifle aber leider immer noch an b) => a), also ich habe jetzt folgendes:
......
[mm] \gwd \Phi(f(v),f(v)) [/mm] - [mm] \Phi(f(v),(f(w)) [/mm] - [mm] \Phi(f(w),f(v)) [/mm] + [mm] \Phi(f(w),f(w)) [/mm] = [mm] \Phi(v,v) [/mm] - [mm] \Phi(v,w) [/mm] - [mm] \Phi(w,v) [/mm] + [mm] \Phi(w,w)
[/mm]
[mm] \gdw -\Phi(f(v),f(w)) [/mm] - [mm] \Phi(f(w),f(v)) [/mm] = [mm] -\Phi(v,w) [/mm] - [mm] \Phi(w,v) [/mm] da [mm] \Phi(f(v),f(v))=\Phi(v,v), [/mm] etc. gilt
[mm] \gdw \Phi(f(v),f(w)) [/mm] + [mm] \Phi(f(w),f(v)) [/mm] = [mm] \Phi(v,w) [/mm] + [mm] \Phi(w,v)
[/mm]
ich bin eigentlich schon kurz vorm ziel, aber mir fehlt noch der letzte Schritt. Schön wäre natürlich, wenn man aus b) folgern könnte dass [mm] \Phi [/mm] symmetrisch ist, aber kann man das einfach so behaupten bzw. wie kann man da sonst ran gehen?
Vielen Dank
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Hiho,
du hast einen euklidischen Vektorraum, somit ist das Skalarprodukt symmetrisch, was sollte es sonst sein
MfG,
Gono.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 21:30 Mi 06.06.2007 | | Autor: | rainman_do |
Ahhh nein....es ist ja ein skalarprodukt.....verdammt, wie konnte ich daran nicht denken...
Danke
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