Orthogonale Abb Isomorphismus < Algebra < Algebra+Zahlentheo. < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 19:02 So 05.02.2006 | | Autor: | gosch |
| Aufgabe | Eine Abbildung [mm] \mathit{L: \IR^n \to \IR^n} [/mm] heiße orthogonal, falls für alle [mm] \mathit{x, y \in \IR ^n} [/mm] gilt [mm] \mathit{ = }
[/mm]
Zeige, dass jede orthogonale Abbildung ein Isomorphismus ist. |
Guten Abend,
Habe Frage zu dieser Aufgabe, und zwar, als Hinweis haben wir bekommen, dass wir zuerst nachweisen sollten, dass diese Abbildung linear ist. Das war auch nicht das Problem. Muss ich also irgendeinen Satz nutzen, der etwas über Isomorphie mit Zusammenhang mit Linearität besagt. Zuerst dachte ich, dass ich Isomorphie aus dem Satz schliessen kann: "Zwei endlich dimensionale K- Vektorräume V und W sind isomorph dann und nur dann wenn [mm] dim_K(V) [/mm] = [mm] dim_K(W)." [/mm] Und weil dim(V) = n = dim(W) ist, ist diese Abbildung ein Isomorphismus. Wieso musste ich aber vorher Linearität nachweisen?
Für irgendeine Idee werde ich dankbar.
Gruß,
Gosch
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 19:42 So 05.02.2006 | | Autor: | SEcki |
> Habe Frage zu dieser Aufgabe, und zwar, als Hinweis haben
> wir bekommen, dass wir zuerst nachweisen sollten, dass
> diese Abbildung linear ist. Das war auch nicht das Problem.
Dies ist imo aber sogar schwieriger als das mit dem Iso ...
> Muss ich also irgendeinen Satz nutzen, der etwas über
> Isomorphie mit Zusammenhang mit Linearität besagt.
Äh, ja. Natürlich. Isomorphie ist ja hier bzgl. der linearen Struktur.
> Zuerst
> dachte ich, dass ich Isomorphie aus dem Satz schliessen
> kann: "Zwei endlich dimensionale K- Vektorräume V und W
> sind isomorph dann und nur dann wenn [mm]dim_K(V)[/mm] = [mm]dim_K(W)."[/mm]
> Und weil dim(V) = n = dim(W) ist, ist diese Abbildung ein
> Isomorphismus.
Nana, dieser Satz besagt das es einen Iso gibt - aber nicht, dass jede Abbildung einer ist. Kurz um: diese Schlußweise ist grober Unfug. Es gbit aber Sätz über lineare Abbildungen zwischen zwei VR der gleichen endlichen Dimension.
> Wieso musste ich aber vorher Linearität
> nachweisen?
Naja, um zu zeigen das obige Abb. ein Iso ist; das die RÄume isomorph sind bestreitet ja keiner ...
SEcki
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