Orthogonale Abb. < Abbildungen+Matrizen < Lin. Algebra/Vektor < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 18:59 Mo 04.01.2010 | | Autor: | stffn |
| Aufgabe | Wir betrachten den euklidischen Vektorraum [mm] R^{2} [/mm] mit dem Standartskalarprodukt
[mm] <\vec{x},\vec{y}>:=x_{1}y_{1}+x_{2}y_{2}
[/mm]
und die Matrix-Abbildung
A: [mm] R^{2} \to R^{2}
[/mm]
[mm] \vektor{x_{1} \\ x_{2}} \mapsto \vektor{a_{11}x_{1}+a_{12}x_{2} \\ a_{21}x_{1}+a_{22}x_{2}}
[/mm]
Sei
[mm] \vec{b}=\vektor{5 \\ -4}
[/mm]
Berechnen Sie die Koeffizienten [mm] a_{11}, a_{12}, a_{21}, a_{22} \in [/mm] R, sodass
1. der erste Spaltenvektor der Matrix A die Länge 1 hat und in dieselbe Richtung zeigt wie [mm] \vec{b} [/mm] und
2. die Matrix-Abbildung A orthogonal ist. |
Hallo und frohes neues Jahr ersteinmal.
Jetzt wo es wieder los geht tun sich auch gleich schonwieder die ersten Fragen auf. Ich weiß nicht wie das funktioniert. [mm] \vec{x} [/mm] habe ich ja garnicht gegeben, wie soll ich auf die [mm] a_{xy} [/mm] kommen?
Und wie eine orthogonale [mm] R^{2} [/mm] Matrix aussehen soll kann ich mir auch nicht vorstellen. Heißt Orthogonal nicht, dass z.B. über der Diagonalen die selben Zahlen mit umgekehrtem Vorzeichen stehen wie unter der Diagonalen?
Danke für die Hilfe!
MfG
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> Wir betrachten den euklidischen Vektorraum [mm]R^{2}[/mm] mit dem
> Standartskalarprodukt
>
> [mm]<\vec{x},\vec{y}>:=x_{1}y_{1}+x_{2}y_{2}[/mm]
>
> und die Matrix-Abbildung
>
> A: [mm]R^{2} \to R^{2}[/mm]
Hallo,
>
> [mm]\vektor{x_{1} \\ x_{2}} \mapsto \vektor{a_{11}x_{1}+a_{12}x_{2} \\ a_{21}x_{1}+a_{22}x_{2}}[/mm]
= [mm] \pmat{a_1_1&a_1_2\\a_2_1&a_2_2}*\vektor{x_1\\x_2}.
[/mm]
>
> Sei
>
> [mm]\vec{b}=\vektor{5 \\ -4}[/mm]
>
> Berechnen Sie die Koeffizienten [mm]a_{11}, a_{12}, a_{21}, a_{22} \in[/mm]
> R, sodass
> 1. der erste Spaltenvektor der Matrix A die Länge 1 hat
> und in dieselbe Richtung zeigt wie [mm]\vec{b}[/mm] und
Normiere [mm] \vec{b}, [/mm] und nimm das dann als 1.Spalte der Matrix.
>
> 2. die Matrix-Abbildung A orthogonal ist.
Informiere Dich, wie orthogonale Matrizen gemacht sind - nicht rätseln, sondern nachlesen.
Gruß v. Angela
> Hallo und frohes neues Jahr ersteinmal.
> Jetzt wo es wieder los geht tun sich auch gleich
> schonwieder die ersten Fragen auf. Ich weiß nicht wie das
> funktioniert. [mm]\vec{x}[/mm] habe ich ja garnicht gegeben, wie
> soll ich auf die [mm]a_{xy}[/mm] kommen?
> Und wie eine orthogonale [mm]R^{2}[/mm] Matrix aussehen soll kann
> ich mir auch nicht vorstellen. Heißt Orthogonal nicht,
> dass z.B. über der Diagonalen die selben Zahlen mit
> umgekehrtem Vorzeichen stehen wie unter der Diagonalen?
> Danke für die Hilfe!
> MfG
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:05 Mi 06.01.2010 | | Autor: | stffn |
Danke schonmal,
ich habe gerade den vektor normiert und habe raus:
[mm] \vektor{\bruch{5}{\wurzel{41}} \\ \bruch{-4}{\wurzel{41}}}
[/mm]
Die Frage ist jetzt wie ich das Ganze zu eine orthogonalen Matrix ergänze.
Ich habe rausgekriegt dass die beiden Vektoren "senkrecht" sein müssen.
Das sind sie, wenn das Standartskalarprodukt 0 ergibt.
Oder auch wenn [mm] A^{-1}=A^{T}
[/mm]
Aber wie rechne ich das "rückwärts" aus?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 18:17 Mi 06.01.2010 | | Autor: | leduart |
Hallo
rechne irgendeinen Vektor aus, dessen Skalarprodukt mit b 0 ist. Dann normier ihn, fertig.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:25 Mi 06.01.2010 | | Autor: | stffn |
Hi!
Genau das habe ich versucht, bin aber nicht weit gekommen. ich schreib mal meine Rechnung auf (ich schreib anstatt den ganzen wert einfach bx und by für die werte des normierten b-vektors):
[mm] \vektor{bx \\ by}*\vektor{\alpha \\ \beta}=0
[/mm]
[mm] bx*\alpha+by*\beta=0
[/mm]
So. Jetzt habe ich 2 unbekannte. Mache ich einen banalen Fehler oder alles komplett falsch?
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> Hi!
> Genau das habe ich versucht, bin aber nicht weit gekommen.
> ich schreib mal meine Rechnung auf (ich schreib anstatt den
> ganzen wert einfach bx und by für die werte des normierten
> b-vektors):
>
> [mm]\vektor{bx \\ by}*\vektor{\alpha \\ \beta}=0[/mm]
>
> [mm]b_x*\alpha+b_y*\beta=0[/mm]
>
> So. Jetzt habe ich 2 unbekannte. Mache ich einen banalen
> Fehler oder alles komplett falsch?
Hallo,
ich sehe jetzt nichts, was falsch ist.
Du hast eine Gleichung mit den zwei Variablen [mm] \alpha, \beta.
[/mm]
Eine Gleichung, zwei Variable - also kannst Du eine Variable frei wählen, etwa [mm] \alpha=1, [/mm] woraus sich dann das passende beta ergibt.
Normalerweise macht man's noch raffinierter: ich wähle [mm] \alpha=b_y, [/mm] und dann muß sein [mm] \beta= [/mm] ???
Gruß v. Angela
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:51 Mi 06.01.2010 | | Autor: | stffn |
Dann müsste [mm] \beta=b_{x} [/mm] sein?!
Also wenn dass so ist müsste meine gesuchte Matrix und damit die Antwort auf meine frage ja folgende sein:
[mm] \pmat{ \bruch{5}{\wurzel{41}} & \bruch{4}{\wurzel{41}} \\ \bruch{-4}{\wurzel{41}} & \bruch{5}{\wurzel{41}} }
[/mm]
Ich hoffe das stimmt!??
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(Antwort) fertig | | Datum: | 19:24 Mi 06.01.2010 | | Autor: | leduart |
Hallo
STIMMT
Gruss leduart
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 19:34 Mi 06.01.2010 | | Autor: | stffn |
schöööen danke, ne große hilfe seid ihr!
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