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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 07:57 Do 08.06.2006 | | Autor: | MasterEd |
| Aufgabe | Es sei der [mm] $\IR^4$ [/mm] versehen mit dem Standardskalarprodukt und es sei $f:\ [mm] \IR^4\to \IR^4$ [/mm] für [mm] $\vec{v}=(w,x,y,z)$ [/mm] definiert durch
[mm] $f(\vec{v})=\pmat{w+x+y+z\\ w+x+y+z\\ w+x-y-z\\w+x-y-z}$
[/mm]
Man bestimme eine Orthogonalbasis von $Kern(f)$ und ergänze diese zu einer Orthogonalbasis von [mm] $\IR^4$. [/mm] |
Hallo. In erster Linie weiß ich hier nicht, was der Kern von f ist und wie ich seine Basis bestimme. Das Finden einer Orthogonalbasis mit dem Verfahren von Gram-Schmidt müsste ich hinkriegen, aber mir fehlt halt der Anfang.
Ich habe [mm] $\pmat{w+x+y+z\\ w+x+y+z\\ w+x-y-z\\w+x-y-z}=\vec{0}$ [/mm] berechnet und als Ergebnis $w=-x$ und $y=-z$ erhalten, aber was sagt mir das, falls es überhaupt sinnvoll war?
Vielen Dank für Eure Hilfe. Ich habe diese Frage nirgendwo sonst gestellt.
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Was du gemacht hast, ist doch schonmal sehr gut!
Setz es doch mal in den vektor [mm] $\vec [/mm] v$ ein!
[mm] $\vec [/mm] v [mm] =\vektor{w\\-w\\y\\-y}=w\vektor{1\\-1\\0\\0}+y\vektor{0\\0\\1\\-1}$
[/mm]
Damit ist jeder Vektor, der sich als Linearkombination von [mm] \vektor{1\\-1\\0\\0} [/mm] und [mm] \vektor{0\\0\\1\\-1} [/mm] schreiben läßt, auch im Kern! Diese beiden Vektoren bilden damit eine Basis des Kerns, die sogar schon orthogonal ist!
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