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Orthogonal: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 15:49 Fr 05.05.2006
Autor: ttgirltt

Aufgabe
Sei V ein endlichdimensionaler euklidischer Vektorraum. v,w  [mm] \in [/mm] V ||v||=||w||=1. Zeigen sie dass es f:V->V orthogonal gibt mit f(v)=w

Jemand einen Hinweis wie ich das lös helfen mir die Defintion von Norm und Orthoganilität überhaupt weiter?

        
Bezug
Orthogonal: 2 Möglichkeiten
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 16:06 Fr 05.05.2006
Autor: statler


> Sei V ein endlichdimensionaler euklidischer Vektorraum. v,w
>  [mm]\in[/mm] V ||v||=||w||=1. Zeigen sie dass es f:V->V orthogonal
> gibt mit f(v)=w

Erstmal einen schönen guten Tag!

1. Variante: Nimm eine Drehung, die v nach w bewegt.

2. Variante: Nimm die Spiegelung an einer Hyperebene, die das tut.

Wenn du dir das im [mm] \IR^{3} [/mm] vorstellen kannst (vielleicht reicht auch  [mm] \IR^{2}), [/mm] dann wirst du das auch im  [mm] \IR^{n} [/mm] hinkriegen. Variante 2 ist glaubich einfacher.

Gruß aus HH-Harburg
Dieter


Bezug
                
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Orthogonal: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 16:34 Fr 05.05.2006
Autor: ttgirltt

Danke erstmal.
Trotzdem komm ich noch nicht recht weiter, wieso hilft mir eine derartige Spiegelung und wie soll ich diese anstellen. Mit den 2 Vektoren v,w wenn bei beiden de Norm 1 haben. Da die Norm die Wurzel aus dem Skalarprodukt dieser Vektoren ist können die Vektoren doch nur aus einsen bestehen dann sehen die doch alles gleich aus?

Bezug
                        
Bezug
Orthogonal: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 19:28 Fr 05.05.2006
Autor: felixf

Hallo!

>  Trotzdem komm ich noch nicht recht weiter, wieso hilft mir
> eine derartige Spiegelung und wie soll ich diese anstellen.
> Mit den 2 Vektoren v,w wenn bei beiden de Norm 1 haben. Da
> die Norm die Wurzel aus dem Skalarprodukt dieser Vektoren
> ist können die Vektoren doch nur aus einsen bestehen dann
> sehen die doch alles gleich aus?

Wieso nur aus Einsen? Was ist mit dem Vektor [mm] $\vector{\sqrt{2}/2 \\ \sqrt{2}/2}$? [/mm]

Zurueck zur Aufgabe. Denk mal ueber die folgenden Fragestellungen nach:

1. Wenn $f : V [mm] \to [/mm] V$ linear ist und [mm] $(v_1, \dots, v_n)$ [/mm] eine ON-Basis von $V$ ist, was ist dann [mm] $(f(v_1), \dots, f(v_n))$? [/mm]

2. Sind [mm] $(v_1, \dots, v_n)$ [/mm] und [mm] $(w_1, \dots, w_n)$ [/mm] ON-Basen von $V$, was kannst du dann ueber die durch [mm] $f(v_i) [/mm] = [mm] w_i$, [/mm] $1 [mm] \le [/mm] i [mm] \le [/mm] n$ definierte lineare Abbildung $f : V [mm] \to [/mm] V$ sagen?

3. Wenn $v [mm] \in [/mm] V$ ein Vektor der Laenge $n$ ist, kannst du eine ON-Basis [mm] $(v_1, \dots, v_n)$ [/mm] von $V$ finden mit [mm] $v_1 [/mm] = v$?

Wenn du zu allem eine (richige) Antwort hast sollte dir auch sofort eine Loesung fuer die Aufgabe in den Sinn kommen :-)

LG Felix


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