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(Frage) reagiert/warte auf Reaktion  | | Datum: | 20:40 Di 15.11.2011 | | Autor: | sissile |
| Aufgabe | Vollständigkeitsaxiom besagt:
Jede nach oben beschränkte, nicht leere Menge reeller Zahlen besitzt ein Supremum (kleinste obere Schranke).
Beweise |
Hallo!
Wisst ihr gibts den beweis irgendwo im Internet? Oder könnt ihr mir helfen, ihn selber zu beweisen?
Die Menge hat ja sicher ein Element, da sie nicht leer ist und auch sicher eine obere Schranke. So dachte ich mir, muss man eine Folge von oberen SChranken bilden die immer kleiner werden.
Wie mache ich das aber?
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moin sissile,
Hier wären ein paar mehr Infos äußerst hilfreich.
Da diese Aussage normalerweise sehr früh in der Analysis gezeigt wird müsste man um dir ordentlich helfen können wissen, was du bereits über [mm] $\IR$ [/mm] weißt und was noch nicht, was du benutzen darfst und was noch nicht, was ihr definiert habt und was erst noch kommt.
Jenachdem was zur Verfügung steht ist diese Aussage entweder sehr einfach oder praktisch unmöglich zu zeigen...
lg
Schadow
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 21:09 Di 15.11.2011 | | Autor: | sissile |
Also ich steh am anfang von analysis.
GemachT: Grenzwert, Cauchyfolge, Monotonie, Teilfolgen, Einführung der reellen Zahlen, Intervallverschachtelung...
Lehrer meinte es geht ähnlich wie Beweis: Jede monoton beschränkte Folge von rationalen Zahlen ist eine Cauchyfolge.
Da hatten wir zwei Folgen, eine von oberen Schranken [mm] (M_k) [/mm] und die andere (a'_k). Nun bildeten wir immer die Summe und halbierten diese, danach schauten wir ob es sich um eine obere Schranke handelt oder ob ein [mm] a_{N_k} [/mm] größergleich der konstruierten zahl ist. ...
LG
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 16:41 Mi 16.11.2011 | | Autor: | Stoecki |
Hattet ihr in Bezug auf Cauchyfolgen gezeigt, dass der grenzwert von rationalen Folgen irrational sein kann? Da hatten wir damals mal nen Beweis, den man passend umbauen könnte.
Sei M eine beschränkte Teilmenge von [mm] \IR [/mm] und x [mm] \notin [/mm] M, sodass x > y [mm] \forall [/mm] y [mm] \in [/mm] M gelte.
x ist damit eine obere Schranke. Setze [mm] a_{0} [/mm] := x
Jetzt müsstest du dir eine (evtl. rekursive) Folge basteln, die diese obere Schranke [mm] a_{0} [/mm] immer weiter verringert, ohne dabei die Eigenschaft obere Schranke zu verlieren. Zu zeigen ist dann, dass bei der Folge der Abstand zur Menge gegen 0 geht und diese Konvergiert (und somit eine cauchyfolge ist). Der Grenzwert wäre dein Supremum.
Tipp: Es gibt sicherlich mehrere Möglichkeiten eine solche Folge zu konstruieren. eine ist ein Element aus der Menge M zu nehmen (egal welches) und das nächste Element mit einer Art binären Suche zu wählen.
Ansatz binäre Suche:
Sei [mm] a_{0} [/mm] = x und y [mm] \in [/mm] M
[mm] s_{i}^{0} [/mm] := [mm] \bruch{1}{2} (a_{i-1}+y)
[/mm]
solange [mm] s_{i}^{k} [/mm] keine obere Schranke ist, setzte [mm] s_{i}^{k+1} [/mm] = [mm] \bruch{1}{2}(s_{i}{k} [/mm] + [mm] a_{i-1})
[/mm]
setze [mm] a_{i} [/mm] = [mm] s_{i}^{k}
[/mm]
die Folge [mm] a_{n} [/mm] würde gegen ein Supremum konvergieren (was man noch beweisen müsste)
Gruß Bernhard
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:21 Mo 21.11.2011 | | Autor: | sissile |
erstmals Danke
> solange $ [mm] s_{i}^{k} [/mm] $ keine obere Schranke ist, setzte $ [mm] s_{i}^{k+1} [/mm] $ > = $ [mm] \bruch{1}{2}(s_{i}{k} [/mm] $ + $ [mm] a_{i-1}) [/mm] $
> setze $ [mm] a_{i} [/mm] $ = $ [mm] s_{i}^{k} [/mm] $
Den Teil verstehe ich nicht .
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(Antwort) fertig | | Datum: | 23:20 Mo 21.11.2011 | | Autor: | Helbig |
Versuche es doch mit einer rekursiv definierten Intervallschachtelung [mm] $[a_n, b_n]$, [/mm] wobei die [mm] $a_n\in [/mm] M$ sind und die [mm] $b_n$ [/mm] obere Schranken von $M$. Für [mm] $a_0$ [/mm] nimmst Du ein Element aus $M$ und für [mm] $b_0$ [/mm] eine obere Schranke von $M$. Beide existieren nach Voraussetzung.
Ist [mm] $a_n$ [/mm] und [mm] $b_n$ [/mm] bereits definiert, setze [mm] $c=\bruch {a_n + b_n} [/mm] 2$. Ist nun $c$ eine obere Schranke von $M$, so setze [mm] $a_{n+1}=a_{n}$ [/mm] und [mm] $b_{n+1}=c$.
[/mm]
Ist $c$ dagegen keine obere Schranke von $M$, so gibt es ein [mm] $d\in [/mm] M$ mit $c<d$. Setze [mm] $a_{n+1}=d$ [/mm] und [mm] $b_{n+1}=b_n$.
[/mm]
Nun überlege, warum dies eine Intervallschachtelung und die durch sie definierte
Zahl $s$ das Supremum von $M$ ist.
Grüße,
Wolfgang
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(Antwort) fertig | | Datum: | 09:16 Di 22.11.2011 | | Autor: | Stoecki |
wie helbig gesagt hat ist dies eine intervalschachtelung. die eine grenze ist kleiner als das gesuchte supremum, die andere größer. du halbierst das interval, schaust dir den wert an. ist er größer als das supremum ists super. andernfalls setzt du die untere schranke des supremum auf genau diesen wert und wiederholst das ganze und zwar so lange, bis es passt, also der wert größer dem supremum ist.
hier ein beispiel zur intervallschachtelung. gesucht eine rekursive folge, die gegen [mm] \wurzel{2} [/mm] konvergiert. obere schranke 2, untere 1. setzte [mm] a_{0}: [/mm] = 2.
[mm] a_{1}:= [/mm] 1,5 = [mm] \bruch{1}{2}*(2+1) [/mm] es gilt [mm] \wurzel{2} [/mm] < 1,5
[mm] a_{2}:= \bruch{1}{2}*(1,5 [/mm] + 1) = 1,25< [mm] \wurzel{2} [/mm] (du würdest danach [mm] a_{2} [/mm] neu berechnen, da 1,25 < [mm] \wurzel{2} [/mm] ist. also:
[mm] a_{2}^{1}:= \bruch{1}{2}*(1,5 [/mm] + 1,25) = 1,375 < [mm] \wurzel{2}
[/mm]
[mm] a_{2}^{2}:= \bruch{1}{2}*(1,5 [/mm] + 1,375) = 1,4375 > [mm] \wurzel{2}
[/mm]
also: [mm] a_{2} [/mm] = 1,4375
u.s.w
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