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Forum "Relationen" - Ordnungsrelation
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Ordnungsrelation: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 13:16 Fr 05.12.2008
Autor: Lisa-19

Aufgabe
Zeigen Sie, dass die Teilerrelation für a,b [mm] \in [/mm] IN
aRb : <--> a|b
eine Ordnungsrelation auf der Menge der natürlichen Zahlen ist.

1) reflexiv
a|a, also 3:3 --> reflexiv
Beweis: zzg. a|a
<--> [mm] \exists [/mm] z [mm] \in [/mm] IN: a= z [mm] \cdot [/mm]  a  mit z= 1
--> a = 1 [mm] \cdot [/mm] a
<--> a=a
Aussage ist wahr, also reflexiv

2) antisymmetrisch
wenn a=b, dann kann man a|a betrachten, also antsymmetrisch
Beweis:
zzg. a|b und b|a --> a = b
[mm] \exists [/mm] k [mm] \in [/mm] IN und [mm] \exists [/mm] p [mm] \in [/mm] IN : b= k [mm] \cdot [/mm] a und a = p [mm] \cdot [/mm] b
--> b = k [mm] \cdot [/mm] (p [mm] \cdot [/mm] b)
--> b = k [mm] \cdot [/mm] p [mm] \cdot [/mm] b

also muss k [mm] \cdot [/mm] p = 1 sein, also k =p=1   (Kann ich das so machen? es könnte ja auch k=0.5 und p=2 sein und nicht unbedingt 1?)

also a =b

3)transitiv
Beweis: zzg. a|b und b|c --> a|c
[mm] \exists [/mm] k,p [mm] \in [/mm] IN: b = k [mm] \cdot [/mm] a und c = p [mm] \cdot [/mm] b
--> c = p [mm] \cdot [/mm] ( k [mm] \cdot [/mm] a)
--> c= p [mm] \cdot [/mm] k [mm] \cdot [/mm] a
p [mm] \cdot [/mm] k := q
--> [mm] \exists [/mm] q [mm] \in [/mm] IN : c = q [mm] \cdot [/mm] a
<--> a|c

Meine Frage ist nun, ob die Beweise so richtig sind.

Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.

        
Bezug
Ordnungsrelation: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 16:07 Fr 05.12.2008
Autor: Gnometech

Hallo Lisa!

> Zeigen Sie, dass die Teilerrelation für a,b [mm]\in[/mm] IN
>  aRb : <--> a|b

>  eine Ordnungsrelation auf der Menge der natürlichen Zahlen
> ist.
>  1) reflexiv
>  a|a, also 3:3 --> reflexiv

>  Beweis: zzg. a|a
>  <--> [mm]\exists[/mm] z [mm]\in[/mm] IN: a= z [mm]\cdot[/mm]  a  mit z= 1

>  --> a = 1 [mm]\cdot[/mm] a

>  <--> a=a

>  Aussage ist wahr, also reflexiv

Das stimmt.
  

> 2) antisymmetrisch
>  wenn a=b, dann kann man a|a betrachten, also
> antsymmetrisch

Den Teil verstehe ich nicht... wenn $a = b$, dann kann man $a|a$ betrachten? Aber was Du unter "Beweis" schreibst ist wirklich das, was zu zeigen ist.

>  Beweis:
>  zzg. a|b und b|a --> a = b

>  [mm]\exists[/mm] k [mm]\in[/mm] IN und [mm]\exists[/mm] p [mm]\in[/mm] IN : b= k [mm]\cdot[/mm] a und a
> = p [mm]\cdot[/mm] b
>  --> b = k [mm]\cdot[/mm] (p [mm]\cdot[/mm] b)

>  --> b = k [mm]\cdot[/mm] p [mm]\cdot[/mm] b

>  
> also muss k [mm]\cdot[/mm] p = 1 sein, also k =p=1   (Kann ich das
> so machen? es könnte ja auch k=0.5 und p=2 sein und nicht
> unbedingt 1?)
>  
> also a =b

Wichtig ist hier, dass $k$ und $p$ ebenfalls natürliche Zahlen sind. Und für alle natürlichen Zahlen gilt zum Beispiel $a [mm] \leq [/mm] a [mm] \cdot [/mm] b$ mit $a = a [mm] \cdot [/mm] b$ genau dann wenn $b = 1$ gilt. Dies für die entsprechenden Werte eingesetzt liefert Dir die Behauptung sofort.
  

> 3)transitiv
>  Beweis: zzg. a|b und b|c --> a|c

>  [mm]\exists[/mm] k,p [mm]\in[/mm] IN: b = k [mm]\cdot[/mm] a und c = p [mm]\cdot[/mm] b
>  --> c = p [mm]\cdot[/mm] ( k [mm]\cdot[/mm] a)

>  --> c= p [mm]\cdot[/mm] k [mm]\cdot[/mm] a

>  p [mm]\cdot[/mm] k := q
>  --> [mm]\exists[/mm] q [mm]\in[/mm] IN : c = q [mm]\cdot[/mm] a

>  <--> a|c

Auch das stimmt.

> Meine Frage ist nun, ob die Beweise so richtig sind.

Wie gesagt: im Prinzip ist das in Ordnung, bei Teil 2) sollte vielleicht noch eine kleine Begründung hin.
  
Liebe Grüße,
Lars

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