Ordnungen von Elementen < Algebra < Algebra+Zahlentheo. < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 14:19 Sa 27.10.2007 | | Autor: | Leni-H |
| Aufgabe | a) Zeige, dass in einer endlichen abelschen Gruppe G mit neutralem Element e stets gilt [mm] produkt_{g \in G}^{} [/mm] = e.
b) Die Elemente der Ordnung 2 bilden zusammen mit dem neutralen Element eine Untergruppe G[2].
c) Genau dann gilt [mm] produkt_{g \in G}^{} \not= [/mm] e, wenn es genau ein Element der Ordnung 2 gibt.
Hinweis: Zeige, dass G[2] sogar ein Vektorraum über [mm] \IF_{2}, [/mm] dem Körper mit zwei Elementen ist. Also kann man alle Elemente von G[2] nach Wahl einer Basis als {0,1}-Tupel schreiben, mit komponentenweiser Addition und 1+1=0.
|
Hallo!
Also die Aufgabe a und b habe ich hinbekommen. Bei Aufgabe c habe ich aber meine Probleme. Was bringt es mir denn, wenn ich zweige, dass G[2] einen Vektorraum bildet? Wie kann ich das denn dann in den Beweis miteinbringen? Es wäre super, wenn ihr mir ein wenig auf die Sprünge helfen könntet!
LG Leni
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 12:00 So 28.10.2007 | | Autor: | Leni-H |
Hat niemand einen Tipp zu c?
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 14:30 So 28.10.2007 | | Autor: | felixf |
Hallo Leni
Achte doch bitte in Zukunft darauf, dass die Formeln in deinen Fragen leserlich sind. Das erhoeht auch ungemein die Anzahl der Leute, die die Fragen beantworten wollen, da man ansonsten erst einmal die richtige Aufgabenstellung ``raten'' darf...
> a) Zeige, dass in einer endlichen abelschen Gruppe G mit
> neutralem Element e stets gilt [mm]produkt_{g \in G}^{}[/mm] = e.
Du meinst: [mm] $\prod_{g \in G} g^2 [/mm] = e$.
> b) Die Elemente der Ordnung 2 bilden zusammen mit dem
> neutralen Element eine Untergruppe G[2].
>
> c) Genau dann gilt [mm]produkt_{g \in G}^{} \not=[/mm] e, wenn es
Du meinst: [mm] $\prod_{g \in G} [/mm] g [mm] \neq [/mm] e$.
> genau ein Element der Ordnung 2 gibt.
> Hinweis: Zeige, dass G[2] sogar ein Vektorraum über
> [mm]\IF_{2},[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
dem Körper mit zwei Elementen ist. Also kann man
> alle Elemente von G[2] nach Wahl einer Basis als
> {0,1}-Tupel schreiben, mit komponentenweiser Addition und
> 1+1=0.
>
> Hallo!
>
> Also die Aufgabe a und b habe ich hinbekommen. Bei Aufgabe
> c habe ich aber meine Probleme. Was bringt es mir denn,
> wenn ich zweige, dass G[2] einen Vektorraum bildet? Wie
> kann ich das denn dann in den Beweis miteinbringen? Es wäre
> super, wenn ihr mir ein wenig auf die Sprünge helfen
> könntet!
Laut Tipp ist $G[2] \cong \IF_2^n$ fuer ein $n \in \IN$ (als $\IF_2$-Vektorraum). Und nun ist $n = 1$ genau dann, wenn $G$ genau ein Element der Ordnung 2 enthaelt.
Und nun musst du folgendes zeigen:
* $\prod_{g \in G} g = \prod_{g \in G[2]} g$;
* mit einem Isomorphismus $\varphi : G[2] \to \IF_2^n$ gilt $\varphi(\prod_{g \in G} G[2]}) = \sum_{v \in \IF_2^n} v$;
* es gilt $\sum_{v \in \IF_2^n} v = 0$ genau dann, wenn $n \neq 1$ ist.
Also hast du die Aufgabenstellung auf eine Aussage ueber endlichdimensionale $\IF_2$-Vektorraeume reduziert. Und dort kannst du viel einfacher weiterargumentieren: du kannst die Elemente explizit auflisten, und du kannst genau sagen wie die Summe von zwei Elementen aussieht.
Wenn du nicht weiterkommst, schreib doch mal fuer $n = 0, 1, 2, 3$ explizit alle Elemente von $\IF_2^n$ auf und berechne (fuer festes $n$) deren Summe. Fuer $n = 1$ sollte etwas $\neq 0$ rauskommen und fuer $n \neq 1$ jeweils 0. Erkennst du, warum fuer $n > 1$ gerade $0$ rauskommt? Das hilft dir dann vielleicht weiter, die Aussage zu beweisen.
LG Felix
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) überfällig  | | Datum: | 21:17 So 28.10.2007 | | Autor: | Leni-H |
Hi,
sorry, aber ich verstehe leider gar nicht, was ich jetzt genau machen muss. Soll ich jetzt als ersten Schritt einfach mal nachweisen, dass G[2] ein Vektorraum ist?
Was muss ich machen, wenn ich damit fertig bin? Was bringt mir das denn für einen Vorteil, wenn ich die Elemente aus G[2] als Vektoren schreiben kann?
LG Leni
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 21:38 Di 30.10.2007 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
|
|
|
|
