Ordnung von Sylow-Gruppen < Algebra < Algebra+Zahlentheo. < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | Sei p eine Primzahl, d,n [mm] \ge [/mm] 1 nat. Zahlen und [mm] F_{q} [/mm] der endliche Körper mit [mm] q=p^{d} [/mm] Elementen. Bestimme:
a) Die Ordnung der Gruppe [mm] GL_{n}(F_{q})
[/mm]
b) Die Ordnung der p-Sylow Untergruppen von [mm] GL_{n}(F_{q})
[/mm]
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Hallo Forum,
vielleicht kann mir jemand helfen oder mir Tipps geben, wie ich diese Aufgabe lösen kann. Die Ordnung ist ja die Anzahl der Elemente einer Gruppe. Aber ich komm einfach nicht drauf, wie ich die Ordnung von der Gruppe [mm] GL_{n}(F_{q}) [/mm] bestimmen soll.
Die Ordnung von [mm] F_{q} [/mm] ist q. Aber was ist die Gruppe [mm] GL_{n}(F_{q})? [/mm] Sind das alle n [mm] \times [/mm] n invertierbaren Matrizen über [mm] F_{q}?
[/mm]
Die Ordnung der p-Sylow-Untergruppen sind auch eine p-Potenz. Aber wie bestimmt man die Ordnung konkret?
Danke für die Mühe!
LG, Milka
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 11:44 Fr 27.04.2007 | | Autor: | statler |
Mahlzeit Anna!
> Sei p eine Primzahl, d,n [mm]\ge[/mm] 1 nat. Zahlen und [mm]F_{q}[/mm] der
> endliche Körper mit [mm]q=p^{d}[/mm] Elementen. Bestimme:
> a) Die Ordnung der Gruppe [mm]GL_{n}(F_{q})[/mm]
> b) Die Ordnung der p-Sylow Untergruppen von [mm]GL_{n}(F_{q})[/mm]
>
> Hallo Forum,
> vielleicht kann mir jemand helfen oder mir Tipps geben,
> wie ich diese Aufgabe lösen kann. Die Ordnung ist ja die
> Anzahl der Elemente einer Gruppe. Aber ich komm einfach
> nicht drauf, wie ich die Ordnung von der Gruppe
> [mm]GL_{n}(F_{q})[/mm] bestimmen soll.
> Die Ordnung von [mm]F_{q}[/mm] ist q. Aber was ist die Gruppe
> [mm]GL_{n}(F_{q})?[/mm] Sind das alle n [mm]\times[/mm] n invertierbaren
> Matrizen über [mm]F_{q}?[/mm]
Ja, das ist eine mögliche Beschreibung. Das sind aber auch die Automorphismen eines n-dimensionalen Vektorraums über [mm] F_{q}, [/mm] und damit kannst du echt was anfangen.
Wenn du eine Basis der Länge hast, wie viele Möglichkeiten hast du dann für das Bild des ersten Basisvektors? Für das Bild des zweiten?
Am besten klärst du zuerst noch, wie viele Elemente dieser Vektorraum überhaupt hat.
Um Sylow kümmern wir uns später....
Gruß aus HH-Harburg
Dieter
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Hallo,
> Ja, das ist eine mögliche Beschreibung. Das sind aber auch
> die Automorphismen eines n-dimensionalen Vektorraums über
> [mm]F_{q},[/mm] und damit kannst du echt was anfangen.
> Wenn du eine Basis der Länge hast, wie viele Möglichkeiten
> hast du dann für das Bild des ersten Basisvektors? Für das
> Bild des zweiten?
> Am besten klärst du zuerst noch, wie viele Elemente dieser
> Vektorraum überhaupt hat.
Sind das [mm] |F_{q}|^{n} [/mm] Elemente? Also [mm] q^{n} [/mm] Elemente?
Wenn ich eine Basis der Länge n habe, z.B. [mm] (x_{1},..., x_{n}), [/mm] dann habe ich für das Bild des ersten Basisvektors nur eine Möglichkeit oder? Nämlich [mm] f(x_{1}) [/mm] mit f eine Abbildung, die das Bild der Basisvektoren berechnet.
Und für das Bild des zweiten Basisvektor genauso.
Stimmt meine Überlegung?
LG, Anna
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(Antwort) fertig | | Datum: | 13:03 Fr 27.04.2007 | | Autor: | statler |
Hi!
> > Ja, das ist eine mögliche Beschreibung. Das sind aber auch
> > die Automorphismen eines n-dimensionalen Vektorraums über
> > [mm]F_{q},[/mm] und damit kannst du echt was anfangen.
> > Wenn du eine Basis der Länge n hast, wie viele
> Möglichkeiten
> > hast du dann für das Bild des ersten Basisvektors? Für das
> > Bild des zweiten?
> > Am besten klärst du zuerst noch, wie viele Elemente
> dieser
> > Vektorraum überhaupt hat.
> Sind das [mm]|F_{q}|^{n}[/mm] Elemente? Also [mm]q^{n}[/mm] Elemente?
>
> Wenn ich eine Basis der Länge n habe, z.B. [mm](x_{1},..., x_{n}),[/mm]
> dann habe ich für das Bild des ersten Basisvektors nur eine
> Möglichkeit oder?
Ganz im Gegenteil, eine Möglichkeit hast du nicht, den Nullvektor darfst du nämlich nicht nehmen. Jeder andere geht.
> Nämlich [mm]f(x_{1})[/mm] mit f eine Abbildung,
> die das Bild der Basisvektoren berechnet.
> Und für das Bild des zweiten Basisvektor genauso.
Wo darf das Bild des 2. Basisvektors nicht zu liegen kommen? Damit die Abbildung injektiv bleibt?
> Stimmt meine Überlegung?
Nicht wirklich, Anna.
Gruß
Dieter
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Hallo,
Wenn ich eine Basis der Länge n habe, dann habe ich nach meiner neuen Überlegung doch n! Möglichkeiten für das Bild des ersten Basisvektors, und nur noch (n-1)! Möglickeiten für das Bild des zweiten Vektors usw. Stimmt diese Idee? Denn das mögliche Bild wäre ja [mm] (f(x_{i}),...,f(x_{j})) [/mm] für i [mm] \not= [/mm] j, wobei die [mm] f(x_{i}) [/mm] auf den n Plätzen kommutieren können.
Der Vektorraum müsste doch [mm] q^{n} [/mm] Elemente haben. Oder?
Danke für die Hilfe.
Milka
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 13:54 Fr 27.04.2007 | | Autor: | statler |
Auch hallo!
> Wenn ich eine Basis der Länge n habe, dann habe ich nach
> meiner neuen Überlegung doch n! Möglichkeiten für das Bild
> des ersten Basisvektors, und nur noch (n-1)! Möglickeiten
> für das Bild des zweiten Vektors usw. Stimmt diese Idee?
'Basis der Länge n' bedeutet 'Basis bestehend aus n Vektoren'. Vielleicht geht deine Vorstellung davon aus, daß ein Vektor als n-Tupel hingeschrieben wird und dann selbst sozusagen die Länge hat. Das ist aber etwas ganz anderes. Schreib die den ersten Basisvektor hin als [mm] b_{1} [/mm] oder sogar [mm] \vec{b_{1}}. [/mm] Sein Bild darf jetzt irgendwo in diesem VR liegen, nur der Nullvektor darf es nicht sein, weil die Abb. ja ein Automorphismus werden soll.
> Denn das mögliche Bild wäre ja [mm](f(x_{i}),...,f(x_{j}))[/mm] für
> i [mm]\not=[/mm] j, wobei die [mm]f(x_{i})[/mm] auf den n Plätzen kommutieren
> können.
Das liest sich so, als wenn das Bild der Basis wieder diese Basis ist, nur anders sortiert. Das muß aber überhaupt nicht sein. Das Bild einer Basis unter einem Automorphismus ist irgendeine Basis.
> Der Vektorraum müsste doch [mm]q^{n}[/mm] Elemente haben. Oder?
Das ist richtig, und das brauchst du auch noch für deine Rechnungen. bau dir doch mal ein kleines Bsp. zusammen, q=4 und n=2 oder so.
Gruß
Dieter
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Hallo statler,
Ich hab die Aufgabe nun so weiter gemacht.
Man hat doch den VR [mm] F_{q}^{n} [/mm] und dieser hat [mm] q^{n} [/mm] Elemente. Und eine Basis der Länge n.
Hat man dann für das Bild des ersten Basisvektor [mm] q^{n} [/mm] Möglichkeiten, für den zweiten dann [mm] q^{n}-1 [/mm] usw.?
Aber was ist nun die Ordnung der Gruppe [mm] GL_{n}(F_{q})?
[/mm]
Ich hoffe, du hilfst mir weiter.
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(Antwort) fertig | | Datum: | 23:55 Fr 27.04.2007 | | Autor: | felixf |
Hallo Anna
> Ich hab die Aufgabe nun so weiter gemacht.
> Man hat doch den VR [mm]F_{q}^{n}[/mm] und dieser hat [mm]q^{n}[/mm]
> Elemente.
Genau.
> Und eine Basis der Länge n.
Er hat mehr als eine Basis. Die Anzahl der Basen (wenn man zwei Basen mit gleichen Vektoren, die in anderer Reihenfolge auftreten, als verschiedene Basen zaehlt) ist genau die Anzahl der invertierbaren $n [mm] \times [/mm] n$-Matrizen.
> Hat man dann für das Bild des ersten Basisvektor [mm]q^{n}[/mm]
> Möglichkeiten,
Nein: der Nullvektor etwa kommt nicht in Frage. Aber jeder andere tut es (siehe den Basisfortsetzungssatz).
> für den zweiten dann [mm]q^{n}-1[/mm] usw.?
Der zweite muss linear unabhaengig zum ersten sein. Er darf also nicht in dem Untervektorraum sein, der von dem ersten Basisvektor erzeugt wird. Wieviele Vektoren liegen in diesem (eindimensionalen) Untervektorraum?
LG Felix
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Hallo felixf und Volker,
danke erstmal für eure Hilfe.
Ich hab das mir mal für n= 2 angeschaut. So wie Volker geschrieben hat, hat man für das Bild des ersten Basisvektor [mm] q^{2}-1 [/mm] Mögleichkeiten, für den 2. Basisvektor [mm] q^{2}-q. [/mm] Also ist die Kardinalität von [mm] GL_{2}(F_{q}) [/mm] = [mm] q^{2}-1 [/mm] + [mm] q^{2}-q [/mm] = 2 [mm] q^{2} [/mm] - q - 1 oder?
Dann muss doch für allgemeines n folgendes gelten:
Für den 1. Basisvektor hat man [mm] q^{n}-1 [/mm] Möglichkeiten, für den2. Basisvektor [mm] q^{n}-q [/mm] usw. für den n-ten Basisvektor hat man [mm] q^{n} [/mm] - (n-1) q Möglichkeiten oder?
Also bekommt man als Ordnung für [mm] GL_{n}(F_{q}) [/mm] = [mm] q^{n} [/mm] -1 + [mm] \summe_{i=1}^{n-1} q^{n} [/mm] - i * q
Ich hab praktisch alle Mögleichkeiten zusammengezählt und das ist dann die Ordnung.
Stimmt das so?
Geht das genauso für die Teilaufgabe b) mit den p-Sylow-Untergruppen?
Danke für die Hilfe!
LG, Milka
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 17:39 Sa 28.04.2007 | | Autor: | Volker2 |
Du mußt die Möglichkeiten multiplizieren nicht addieren, d.h.
[mm] (q^2-1)(q^2-q)=q(q^2-1)(q-1)
[/mm]
in meinem Beispiel.
Volker
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 19:23 Sa 28.04.2007 | | Autor: | felixf |
Hallo Anna!
> Dann muss doch für allgemeines n folgendes gelten:
> Für den 1. Basisvektor hat man [mm]q^{n}-1[/mm] Möglichkeiten, für
> den2. Basisvektor [mm]q^{n}-q[/mm] usw. für den n-ten Basisvektor
> hat man [mm]q^{n}[/mm] - (n-1) q Möglichkeiten oder?
Das fuer den $n$-ten Basisvektor stimmt nicht. Allgemein: Der Unterraum, der von den Bildern der ersten $k-1$ Basisvektoren erzeugt wird, hat Dimension $k - 1$ und somit [mm] $q^{k-1}$ [/mm] Elemente. Und das sind gerade die, die du nicht fuer das Bild des $k$-ten Basisvektors nehmen darfst. Du hast also [mm] $q^n [/mm] - [mm] q^{k-1}$ [/mm] Moeglichkeiten, um den $k$-ten Basisvektor zu waehlen.
Insgesamt hast du also [mm] $\prod_{k=0}^{n-1} (q^n [/mm] - [mm] q^k)$ [/mm] verschiedene Elemente in [mm] $GL_n(\IF_q)$.
[/mm]
> Stimmt das so?
> Geht das genauso für die Teilaufgabe b) mit den
> p-Sylow-Untergruppen?
Da ist es einfacher: du musst schauen, wie oft $p$ ein Teiler von [mm] $|GL_n(\IF_q)|$ [/mm] ist. Dazu kannst du das Produkt [mm] $\prod_{k=0}^{n-1} (q^n [/mm] - [mm] q^k)$ [/mm] Faktorweise anschauen, also dir das fuer jeden Faktor [mm] $q^n [/mm] - [mm] q^k$ [/mm] ueberlegen.
LG Felix
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Hallo felixf,
die Aufgabe (a) habe ich nun verstanden. Danke für deine Erklärungen!
Ich hab nun eine Frage zur (b):
> > Geht das genauso für die Teilaufgabe b) mit den
> > p-Sylow-Untergruppen?
>
> Da ist es einfacher: du musst schauen, wie oft [mm]p[/mm] ein Teiler
> von [mm]|GL_n(\IF_q)|[/mm] ist. Dazu kannst du das Produkt
> [mm]\prod_{k=0}^{n-1} (q^n - q^k)[/mm] Faktorweise anschauen, also
> dir das fuer jeden Faktor [mm]q^n - q^k[/mm] ueberlegen.
Es gilt hier doch [mm] |GL_{n}(F_{q})| [/mm] = [mm] \prod_{k=0}^{n-1} (q^n [/mm] - [mm] q^k) [/mm] = [mm] p^{k} [/mm] * m, m [mm] \in \IN, [/mm] k [mm] \ge [/mm] 1.
Für eine p-Sylow-Untergruppe U von G gilt |U| = [mm] p^{k}
[/mm]
Ich versteh das nicht ganz, wie ich herauskriege, wie oft p das Produkt [mm] \prod_{k=0}^{n-1} (q^n [/mm] - [mm] q^k) [/mm] teilt.
Die Ordnung der p-Sylow ist doch eine p Potenz. Wie bekomme ich das k heraus?
Wäre nett, wenn du mir das erklären könntest.
Danke,
Milka
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 19:52 So 29.04.2007 | | Autor: | felixf |
Hallo Anna,
> > > Geht das genauso für die Teilaufgabe b) mit den
> > > p-Sylow-Untergruppen?
> >
> > Da ist es einfacher: du musst schauen, wie oft [mm]p[/mm] ein Teiler
> > von [mm]|GL_n(\IF_q)|[/mm] ist. Dazu kannst du das Produkt
> > [mm]\prod_{k=0}^{n-1} (q^n - q^k)[/mm] Faktorweise anschauen, also
> > dir das fuer jeden Faktor [mm]q^n - q^k[/mm] ueberlegen.
>
> Es gilt hier doch [mm]|GL_{n}(F_{q})|[/mm] = [mm]\prod_{\ell=0}^{n-1} (q^n[/mm]
> - [mm]q^\ell)[/mm] = [mm]p^{k}[/mm] * m, m [mm]\in \IN,[/mm] k [mm]\ge[/mm] 1.
...und $p$ teilt nicht $m$.
(Ich hab hier mal das $k$ im Produkt in [mm] $\ell$ [/mm] umbenannt.)
> Für eine p-Sylow-Untergruppe U von G gilt |U| = [mm]p^{k}[/mm]
>
> Ich versteh das nicht ganz, wie ich herauskriege, wie oft p
> das Produkt [mm]\prod_{\ell=0}^{n-1} (q^n[/mm] - [mm]q^\ell)[/mm] teilt.
Eine Primzahl teilt genau dann ein Produkt, wenn sie (mindestens) einen der Faktoren teilt. Deswegen musst du fuer jeden Faktor [mm] $q^n [/mm] - [mm] q^\ell [/mm] = [mm] q^\ell (q^{n - \ell} [/mm] - 1)$ einzeln gucken, wie oft der durch $p$ geteilt wird. Jetzt ist $q = [mm] p^d$, [/mm] womit [mm] $q^n [/mm] - [mm] q^\ell$ [/mm] schonmal mindestens $d [mm] \cdot \ell$-mal [/mm] durch $p$ geteilt wird. Der Faktor [mm] $q^{n - \ell} [/mm] - 1 = [mm] p^{d \cdot (n - \ell)} [/mm] - 1$ wird jetzt aber nicht durch $p$ geteilt. Also wird [mm] $q^n [/mm] - [mm] q^\ell$ [/mm] genau durch [mm] $p^{d \ell}$ [/mm] geteilt.
Kannst du jetzt ausrechnen, wie oft das Produkt durch $p$ geteilt wird?
> Die Ordnung der p-Sylow ist doch eine p Potenz. Wie bekomme
> ich das k heraus?
Und zwar die groesst moegliche. Und jede Untergruppe dieser Ordnung ist eine $p$-Sylow-Untergruppe.
LG Felix
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Hallo felixf,
ich hab total übersehen, dass q = [mm] p^{d} [/mm] ist 
Ich hab mir folgendes überlegt: [mm] q^{n} [/mm] - [mm] q^{l} [/mm] = [mm] q^{l} (q^{n-l} [/mm] -1) = [mm] p^{dl} (p^{dn-dl} [/mm] - 1) =: [mm] p^{dl} [/mm] * m, wobei m = [mm] (p^{dn-dl} [/mm] - 1)
Dann ist [mm] |GL_{n}(F_{q})| [/mm] = [mm] \produkt_{l=0}^{n-1} p^{dl} [/mm] * m = m * [mm] \produkt_{l=0}^{n-1} p^{dl} [/mm] = m * [mm] p^{d(2+3+...+n)}
[/mm]
Also ist das Produkt d * [mm] \summe_{i=2}^{n} [/mm] i -mal durch p teilbar.
Stimmt das?
Danke für deine Hilfe.
Milka
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 21:57 So 29.04.2007 | | Autor: | felixf |
Hallo Anna!
> ich hab total übersehen, dass q = [mm]p^{d}[/mm] ist
> Ich hab mir folgendes überlegt: [mm]q^{n}[/mm] - [mm]q^{l}[/mm] = [mm]q^{l} (q^{n-l}[/mm]
> -1) = [mm]p^{dl} (p^{dn-dl}[/mm] - 1) =: [mm]p^{dl}[/mm] * m, wobei m =
> [mm](p^{dn-dl}[/mm] - 1)
> Dann ist [mm]|GL_{n}(F_{q})|[/mm] = [mm]\produkt_{l=0}^{n-1} p^{dl}[/mm] *
> m = m * [mm]\produkt_{l=0}^{n-1} p^{dl}[/mm] = m *
> [mm]p^{d(2+3+...+n)}[/mm]
Also $m$ hat hier viele verschiedene Bedeutungen :) Ist aber immer etwas, was nicht durch $p$ teilbar ist.
Das letzte Gleichheitszeichen stimmt allerdings nicht. Du hast [mm] $\prod_{\ell=0}^{n-1} p^{d \ell} [/mm] = [mm] p^{d \sum_{\ell=0}^{n-1} \ell} [/mm] = [mm] p^{d (1 + 2 + \dots + (n-1))}$.
[/mm]
> Also ist das Produkt d * [mm]\summe_{i=2}^{n}[/mm] i -mal durch p
> teilbar.
> Stimmt das?
Also wenn die Summe bei 0 bzw. 1 anfaengt und bei $n-1$ aufhoert, dann ja. Du kannst uebrigens explizit den Wert der Summe angeben. (Ist eine sehr bekannte Summenformel, die angeblich auf Gauss zurueckgeht.)
LG Felix
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Hallo felixf,
Ich hab die Summenformel von Gauß angewandt und erhalte für [mm] |GL_{n}(F_{q})| [/mm] = m * [mm] p^{l \bruch{n(n-1)}{2}}
[/mm]
Also ist die Ordnung der p-Sylow-Untergruppen gleich [mm] p^{l \bruch{n(n-1)}{2}}.
[/mm]
Stimmt das?
LG, Milka
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 22:34 So 29.04.2007 | | Autor: | felixf |
Hallo Anna!
> Ich hab die Summenformel von Gauß angewandt und erhalte
> für [mm]|GL_{n}(F_{q})|[/mm] = m * [mm]p^{l \bruch{n(n-1)}{2}}[/mm]
> Also ist
> die Ordnung der p-Sylow-Untergruppen gleich [mm]p^{l \bruch{n(n-1)}{2}}.[/mm]
>
> Stimmt das?
Ich wuerd sagen ja :)
So, und jetzt kannst du dich ja noch an Volkers Aufgabe machen, also explizit eine $p$-Sylow-Untergruppe angeben :) Es gibt da eine ganz einfache... (Tipp: nimm untere oder obere Dreiecksmatrizen; wieviele invertierbare gibt es davon? Wie kannst du die Anzahl durch eine einfache Bedingung auf die passende Zahl reduzieren?)
LG Felix
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 12:45 Sa 28.04.2007 | | Autor: | Volker2 |
Hallo Anna,
vergiß doch bitte erstmal das allgemeine n und betrachte nur invertierbare [mm] $2\times [/mm] 2$-Matrizen. Felix hatte ja schon gesagt, dass Dir für den ersten Spaltenvektor [mm] q^2-1 [/mm] Vektoren zur Verfügung stehen. Für den zweiten Spaltenvektor kommen dann noch alle Vektoren in Frage, die nicht eines der $q$ Vielfachen des ersten sind, d.h. also nur noch [mm] q^2-q. [/mm] Damit hast Du dann die Kardinalität für n=2. Alles weitere geht analog.
Volker
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 17:13 Fr 27.04.2007 | | Autor: | Volker2 |
Hallo,
weil es in diesem Fall so schön und instruktiv ist, sollte man zur Aufgabe noch hinzufügen
c) Schreiben Sie eine p-Sylowgruppe hin.
Volker
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