Ordnung von Gl_{n}(\IZ/p \IZ) < Algebra < Algebra+Zahlentheo. < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Aufgabe | | Bestimme die Ordnung von der Gruppe [mm] Gl_{n}( \IZ [/mm] / p [mm] \IZ) [/mm] für Primzahlen p. |
Hallo,
Hab hier eine Übungsaufgabe, die ich bis jetzt nicht lösen konnte. Kann mir jemand helfen? Die Aufgabe dürfte mit etwas Gruppentheorie und/ oder Lineare Algebra zu meistern sein.
Mit freundlichen Grüßen
Andreas
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 14:40 Fr 07.09.2007 | | Autor: | statler |
Mahlzeit!
> Bestimme die Ordnung von der Gruppe [mm]Gl_{n}( \IZ[/mm] / p [mm]\IZ)[/mm]
> für Primzahlen p.
Das Ding hatten wir hier schon mal beim Wickel.
> Hab hier eine Übungsaufgabe, die ich bis jetzt nicht lösen
> konnte. Kann mir jemand helfen? Die Aufgabe dürfte mit
> etwas Gruppentheorie und/ oder Lineare Algebra zu meistern
> sein.
Diese Matrizen beschreiben ja gerade die bijektiven linearen Abbildungen eines n-dimensionalen Vektorraums über [mm] F_{p}. [/mm] In der 1. Spalte steht das Bild des 1. Basisvektors, das kann jeder außer dem Nullvektor sein, also gibt es dafür [mm] p^{n}-1 [/mm] Möglichkeiten. In der 2. Spalte steht dann das Bild des 2. Basisvektors, dafür gibt es jetzt aber nur noch [mm] p^{n}-p [/mm] Möglichkeiten, usw.
Wenn dir das Prinzip klar ist, kannst du die Aufgabe jetzt 'rund machen'.
Gruß aus HH-Harburg
Dieter
|
|
|
| |
|
| Aufgabe | Hallo,
Wie berücksichtige ich die Linearkombinationen der Vektoren? Eine andere Frage fällt mir jetzt nicht ein. Mir ist noch Einiges unklar.
Sorry.
MfG Andreas |
??
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 08:44 Di 11.09.2007 | | Autor: | statler |
Guten Morgen Andreas!
Fakt ist: Der Körper [mm] \IZ/p\IZ =:F_{p} [/mm] hat p Elemente. Das hat zur Folge, daß ein k-dimensionaler Vektorraum über [mm] F_{p} p^{k} [/mm] Elemente hat. Denn das ist ja bis auf Isomorphie gerade die Menge der k-Tupel mit Elementen aus [mm] F_{p}.
[/mm]
Jetzt sind in der Matrix einer linearen Abbildung die Spalten gerade die Bilder der Basisvektoren. Für die 1. Spalte nimmst du einen beliebigen Vektor außer dem Nullvektor, davon gibt es [mm] p^{n} [/mm] - 1. Dieser spannt im Bild einen 1-dimensionalen Unterraum mit p Elementen auf, in dem das Bild des 2. Basisvektors nicht mehr liegen darf. Also gibt es für die 2. Spalte noch [mm] p^{n} [/mm] - p Möglichkeiten. Diese beiden Spalten spannen jetzt einen 2-dimensionalen Unterraum mit [mm] p^{2} [/mm] Elementen auf, in welchem das Bild des 3. Basisvektors nicht zu liegen kommen darf. Das geht so weiter, bis du für die letzte Spalte noch [mm] p^{n} [/mm] - [mm] p^{n-1} [/mm] Möglichkeiten hast.
Die Gesamtzahl der Möglichkeiten - also die Anzahl der Matrizen - ergibt sich dann durch Multiplikation, wie man in der Kombinatorik lernt.
Gruß aus HH-Harburg
Dieter
|
|
|
| |
|
Hallo nach Hamburg: Daaankkkeee!!
Hatte mir in etwa in der Zwischenzeit auch so was überlegt. Hatte wohl etwas Tomaten auf den Augen.
Wie richtig erwähnt wurde ist die Lösung also [mm] \produkt_{i=0}^{n-1} (p^{n}-p^{i}) [/mm] denke ich.
MfG Andreas
|
|
|
|
