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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 15:49 Mo 22.02.2016 | | Autor: | valoo |
| Aufgabe | | Sei $ p [mm] \ge [/mm] 3 $ eine Primzahl. Zeigen Sie, dass die Anzahl der [mm] \IF_{p}-rationalen [/mm] Punkte der elliptischen Kurve $ E : [mm] y^{2} [/mm] = [mm] x^{3} [/mm] + x $ durch 4 teilbar ist. |
Hallo allerseits!
Falls $ p [mm] \equiv [/mm] \ 3 \ mod \ 4 $, so ist $ [mm] \# [/mm] E ( [mm] \IF_{p} [/mm] ) = p + 1 $. Also stimmt hier die Behauptung. Wie man dies aber im anderen Fall zeigt, ist mir nicht klar. Im Allgemeinen gilt:
$ [mm] \# [/mm] E ( [mm] \IF_{p} [/mm] ) = p + 1 + [mm] \sum_{x \in \IF_{p}} \big( \frac{x^{3} + x}{p} \big) [/mm] $
sodass es reichen wuerde zu zeigen, dass
$ [mm] \sum_{x \in \IF_{p}} \big( \frac{x^{3} + x}{p} \big) \equiv [/mm] \ 2 \ mod \ 4 $
Ich wuesste allerdings nicht, wie ich das anstellen sollte.
Alternative Idee waere ein Element der Ordnung 4 zu finden, dann muss die Gruppenordnung durch 4 teilbar sein. Also bin ich herangegangen, hab ein Element $ P = ( [mm] \alpha, \beta [/mm] ) $ genommen, $ 2 P $ ausgerechnet und die zweite Koordinate 0 gesetzt, dabei kommt bis auf $ alpha = 0 $, was auszuschliessen ist, nur ein haessliches Polynom bei raus...
Wie also kann man dies sonst zeigen?
LG
valoo
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 22:44 Mo 22.02.2016 | | Autor: | hippias |
Meine Idee fur den Fall [mm] $p\equiv_{4} [/mm] 1$ wäre eine geeignete Permutation auf der Lösungsmenge $E$ zu definieren, die eine zykliche Gruppe der Ordnung $4$ erzeugt. Wenn diese Gruppe fixpunktfrei (im wesentlichen) operiert, dann folgt ebenfalls die Behauptung. Offensichtlich ist mit $(x,y)$ auch $(x,-y)$ eine Lösung. Aber unter den gemachten Voraussetzungen gibt es mit $(x,y)$ auch eine Lösung $(-x,y')$...
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(Antwort) fertig | | Datum: | 08:46 Di 23.02.2016 | | Autor: | statler |
> Sei [mm]p \ge 3[/mm] eine Primzahl. Zeigen Sie, dass die Anzahl der
> [mm]\IF_{p}-rationalen[/mm] Punkte der elliptischen Kurve [mm]E : y^{2} = x^{3} + x[/mm]
> durch 4 teilbar ist.
Guten Morgen!
> Falls [mm]p \equiv \ 3 \ mod \ 4 [/mm], so ist [mm]\# E ( \IF_{p} ) = p + 1 [/mm].
Ja. Für p [mm] \equiv [/mm] 3 (4) ist -1 quadratischer Nichtrest; ist f(x) = [mm] x^3 [/mm] + x, so ist [mm] \big( \frac{f(x)}{p} \big) [/mm] = [mm] -\big( \frac{f(-x)}{p}\big), [/mm] also ist [mm] \sum_{x \in \IF_{p}} \big( \frac{f(x)}{p} \big) [/mm] = [mm] \sum_{x \in \IF_{p}^{x}} \big( \frac{f(x)}{p} \big) [/mm] = 0
> Also stimmt hier die Behauptung. Wie man dies aber im
> anderen Fall zeigt, ist mir nicht klar. Im Allgemeinen
> gilt:
> [mm]\# E ( \IF_{p} ) = p + 1 + \sum_{x \in \IF_{p}} \big( \frac{x^{3} + x}{p} \big)[/mm]
>
> sodass es reichen wuerde zu zeigen, dass
> [mm]\sum_{x \in \IF_{p}} \big( \frac{x^{3} + x}{p} \big) \equiv \ 2 \ mod \ 4[/mm]
>
> Ich wuesste allerdings nicht, wie ich das anstellen
> sollte.
Dann mal zu: Für p [mm] \equiv [/mm] 1 (4) ist -1 quadratischer Rest. Damit hat f(x) = [mm] x(x^2 [/mm] + 1) die Nullstellen x = 0 und x = [mm] \pm [/mm] y mit [mm] y^2 [/mm] = -1. Außerdem ist [mm] \big( \frac{f(x)}{p} \big) [/mm] = [mm] \big( \frac{f(-x)}{p} \big).
[/mm]
Lasse ich zunächst x das positive Halbsystem 1, [mm] \dots [/mm] , [mm] \bruch{p-1}{2} [/mm] durchlaufen, so gibt es genau einmal (für y [mm] \in \{1, \dots , \bruch{p-1}{2} \} [/mm] ) den Wert 0. Da [mm] \bruch{p-1}{2} [/mm] gerade ist, gibt es in der (Halb-)Summe r-mal +1 und s-mal -1, und r+s ist ungerade. Damit ist auch die (Halb-)Summe ungerade und folglich die volle Summe [mm] \equiv [/mm] 2 (4).
Gruß aus HH
Dieter
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