Ordnung eines Gruppenelements < Gruppe, Ring, Körper < Algebra < Algebra+Zahlentheo. < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 23:26 Do 01.01.2009 | | Autor: | dibble |
| Aufgabe | | Sei <G,*> eine Gruppe. Beweisen Sie, dass für u,v aus G gilt. ord(u*v)=ord(v*u). |
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
Hallo zusammen!
....Also ich weiss gar nicht recht, wo ich anfangen soll. Wir hatten den Satz von Lagrange in der Vorlesung, kann man die Identität irgendwie damit zeigen?
Wäre für jeden Tipp dankbar!
Grüße,
dibble
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Angenommen, es sei $\ ord(u*v)=n$ .
Dann ist $\ n$ die kleinste natürliche Zahl mit
$\ [mm] (u*v)^n=u*v*u*v* [/mm] ..... * u*v=e$
also
$\ [mm] u*(v*u)^{n-1}*v=e$
[/mm]
Von links mit [mm] u^{-1} [/mm] multipliziert:
$\ [mm] \underbrace{u^{-1}*u}_{e}*(v*u)^{n-1}*v=u^{-1}*e=u^{-1}$
[/mm]
$\ [mm] \Rightarrow (v*u)^{n-1}*v=u^{-1}$
[/mm]
Von rechts mit u multipliziert:
$\ [mm] (v*u)^{n-1}*v*u=u^{-1}*u$
[/mm]
$\ [mm] (v*u)^{n}=e$
[/mm]
Daraus kann man schliessen, dass $\ [mm] ord(v*u)\le [/mm] n=ord(u*v)$
Analog kann man auch zeigen, dass $\ [mm] ord(u*v)\le [/mm] ord(v*u)$
LG
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 18:10 Fr 02.01.2009 | | Autor: | dibble |
Hey, danke für deine ausführliche Antwort, hat mir sehr geholfen!
Grüße,
dibble
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