Ordnung einer Untergruppe best < Gruppe, Ring, Körper < Algebra < Algebra+Zahlentheo. < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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Hallo!
ich habe hier eine Aufgabe in der ich die Ordnung einer Untergruppe U von S9 angeben soll.
Die Gruppe wird durch die Permutationen [mm] $\sigma$ [/mm] und [mm] $\tau$ [/mm] erzeugt. Es ist bereits gezeigt, dass [mm] $U=\{\sigma^i\circ \tau^j; i,j\in \mathbb N_0\}$ [/mm] gilt und die Ordnungen von [mm] $\sigma$ [/mm] und [mm] $\tau$ [/mm] sind 9 und 3.
Nun wird gesagt, die Anzahl(=Ordnung U) sei 27. Ich seh, dass das Produkt von 9 und 3 ist, ich versteh jedoch nicht warum man diese Zahlen einfach multiplizieren darf, denn woher weiß ich, dass [mm] $\sigma^i\circ \tau^j\neq\sigma^n\circ \tau^m$ [/mm] für [mm] $i\neq [/mm] n$, [mm] $j\neq [/mm] m$ gilt, ich also einfach die Anzahl als Kombination aller Potenzen von [mm] $\sigma$ [/mm] und [mm] $\tau$ [/mm] ansehen darf.
Wäre sehr dankbar für Hilfe!
Herzlichen Gruß,
Lorenz
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 08:52 Mi 15.09.2010 | | Autor: | statler |
Guten Morgen!
> ich habe hier eine Aufgabe in der ich die Ordnung einer
> Untergruppe U von S9 angeben soll.
> Die Gruppe wird durch die Permutationen [mm]\sigma[/mm] und [mm]\tau[/mm]
> erzeugt. Es ist bereits gezeigt, dass [mm]U=\{\sigma^i\circ \tau^j; i,j\in \mathbb N_0\}[/mm]
> gilt und die Ordnungen von [mm]\sigma[/mm] und [mm]\tau[/mm] sind 9 und 3.
> Nun wird gesagt, die Anzahl(=Ordnung U) sei 27. Ich seh,
> dass das Produkt von 9 und 3 ist, ich versteh jedoch nicht
> warum man diese Zahlen einfach multiplizieren darf, denn
> woher weiß ich, dass [mm]\sigma^i\circ \tau^j\neq\sigma^n\circ \tau^m[/mm]
> für [mm]i\neq n[/mm], [mm]j\neq m[/mm] gilt, ich also einfach die Anzahl als
> Kombination aller Potenzen von [mm]\sigma[/mm] und [mm]\tau[/mm] ansehen
> darf.
Da muß noch mehr gegeben sein, denn wenn [mm] \tau [/mm] = [mm] \sigma^3 [/mm] wäre, wäre die Ordnung der erzeugten U-Gruppe 9. Allerdings kommutieren [mm] \sigma [/mm] und [mm] \tau [/mm] dann, vielleicht war das durch eine Vertauschungsrelation ausgeschlossen.
Gruß aus HH-Harburg
Dieter
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Hallo Statler,
danke für die schnelle Antwort. Also die Permutationen waren konkret gegeben, man sollte sie in Zyklen darstellen:
[mm] $\sigma=(123456789)$, $\tau=(258)(396)$
[/mm]
und es ist bereits festgestellt, dass [mm] $\tau\circ\sigma\circ\tau^{-1}=\sigma^4$ [/mm] daraus folgte, dass jedes [mm] $\tau\circ\sigma^i$ [/mm] durch [mm] $\sigma^{4i}\circ\tau$ [/mm] und [mm] $\tau^2\circ\sigma^j$ [/mm] durch [mm] $\sigma^{7i}\circ\tau^2$ [/mm] darstellbar ist.
Freu mich weiterhin über Hilfe!
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 18:20 Fr 17.09.2010 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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