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| Aufgabe | | Eine Permutation [mm] $\pi\in\S_{n}$ [/mm] habe die Zykeldarstellung [mm] $\pi [/mm] = [mm] \sigma_{1}\circ [/mm] ... [mm] \circ\sigma_{m}$ [/mm] aus disjunkten Zykeln [mm] \sigma_{i} [/mm] der Länge [mm] m_{i}. [/mm] Welche Ordnung hat [mm] \pi [/mm] ? |
Hallo!
Bei der obigen Aufgabe geht es nicht nur darum, die Lösung zu finden, sondern diese auch zu "beweisen" / "begründen".
Ich habe mir als Beispiel die Permutation
( 1 2 3 4 )( 5 6 7 8 9 10 )
genommen. Da sieht man, dass wenn ich die Permutation 4mal hintereinander ausführe, dass dann zwar der erste Zykel zur ID wird, der letzte aber noch nicht. Führe ich sie 6mal hintereinander aus, wird der zweite Zykel zur ID, aber der erste nicht.
Ich muss also solange die Permutation hintereinander ausführen, bis beide gleichzeitig zur ID werden, und das tritt bei [mm] $kgV(m_{1},m_{2})$ [/mm] auf.
Also ist meine Vermutung: Solch ein Zykel wie oben hat die Ordnung
[mm] $kgV(ord(\sigma_{1}),...,ord(\sigma_{m})) [/mm] = [mm] kgV(m_{1},...,m_{m})$
[/mm]
Das Gleichheitszeichen gilt nach einer anderen Aufgabe.
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Nun müsste ich aber zweierlei zeigen:
- Für $x = [mm] kgV(m_{1},...,m_{m})$ [/mm] gilt wirklich [mm] $\pi^{x} [/mm] = ID$ und
- Es gibt kein kleineres $x$ sodass [mm] $\pi^{x} [/mm] = ID$ ist.
Allerdings weiß ich nicht genau, wie ich an den Beweis rangehen muss.
Kann man einfach sagen, weil die Zykel disjunkt sind, reicht es jeden einzeln zu betrachten, also so:
[mm] $\pi^{x} [/mm] = [mm] \sigma_{1}^{x}\circ [/mm] ... [mm] \circ\sigma_{m}^{x}$
[/mm]
und dann zu sagen: Der Zykel [mm] \sigma_{i} [/mm] hat Länge [mm] m_{i}, [/mm] also hat er die Ordnung [mm] m_{i} [/mm] ? D.h. für diesen Zykel gilt: [mm] $\sigma_{i}^{m_{i}} [/mm] = ID$, und nun müssen nur noch alle zusammen gleichzeitig ID werden...?
Bei dem zweiten Beweisteil bitte ich um einen Denkanstoß 
Grüße und danke für Eure Hilfe,
Stefan
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 10:20 Mi 11.11.2009 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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