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Forum "Gruppe, Ring, Körper" - Ordnung einer Gruppe
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Ordnung einer Gruppe: Aufgabe
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 15:56 Do 14.05.2009
Autor: eppi1981

Aufgabe
Sei (G,∗) eine Gruppe und sei a,b∈G.
Beweisen Sie: ord(a ∗b) = ord(b∗ a) .

ich wieß nicht, wie man das beweisen kann.
ich kenne, dass der Ordnung einer Elemente die kleinste natürliche Zahl n>0, für die [mm] g^{n}=e [/mm] und e [mm] \in [/mm] G gilt.

        
Bezug
Ordnung einer Gruppe: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 16:05 Do 14.05.2009
Autor: fred97

Es sei

           (1)  [mm] $(ab)^n [/mm] = e$.

Dann:

           $ab = [mm] (ab)^{n+1} [/mm] = a(ba)^nb$

Mult. mit [mm] a^{-1} [/mm] von links liefert:

           $b = (ba)^nb$

Mult. mit [mm] b^{-1} [/mm] von rechts liefert:

             (2)  $e = [mm] (ba)^n$ [/mm]

Genauso zeigt man die Implikation  $(2) [mm] \Rightarrow [/mm] (1)$


FRED




Bezug
                
Bezug
Ordnung einer Gruppe: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 16:12 Do 14.05.2009
Autor: eppi1981

$ ab = [mm] (ab)^{n+1} [/mm] = a(ba)^nb $

wie haben Sie dieses Formel bekommen?

Bezug
                        
Bezug
Ordnung einer Gruppe: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 16:17 Do 14.05.2009
Autor: fred97


>  [mm]ab = (ab)^{n+1} = a(ba)^nb[/mm]
>  

Das erste "=" folgt aus $e = [mm] (ab)^n$ [/mm]


      [mm] $(ab)^{n+1} [/mm] = a(ba)^nb$  kann man induktiv zeigen



> wie haben Sie dieses Formel bekommen?

Wir sagen in diesem Forum "Du"

FRED

Bezug
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