Ordnung einer Gruppe < Gruppe, Ring, Körper < Algebra < Algebra+Zahlentheo. < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 16:39 Mi 24.10.2007 | | Autor: | Manabago |
Hi! Ich hab eine Frage zu folgender Aufgabe:
Seien g, h aus [mm] GL_2(R), [/mm]
[mm] g=\pmat{ 0 & 1 \\ 1 & 0 }, [/mm]
[mm] h=\pmat{ 1 & 0 \\ 1 & -1 }
[/mm]
Sei F die von g und h erzeugte Untergruppe. Ich soll jetzt zeigen, dass |F|=12.
Gibt es da eine Möglichkeit, dass ohne Herumprobieren zu zeigen?
Lg
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 17:23 Mi 24.10.2007 | | Autor: | andreas |
hi
ich befürchte so ganz ohne rumprobieren wird es da keine einfache lösung geben, aber ich denke das herumgerechen wird sich, ohne dass ich das jetzt schon durchgerechnet hätte, in grenzen halten. rechene doch erstmal die ordnungen der matrizen $g$ und $h$ aus, also die kleinsten natürlichen zahlen $m$ und $n$, so dass [mm] $g^m$ [/mm] beziehungsweise [mm] $h^n$ [/mm] die einheitsmatrix ergeben. und probiere dann $hg$ durch ein produkt [mm] $g^{k_1}h^{k_2}$ [/mm] auszudrücken, dann liese sich nämlich jedes element durch [mm] $g^{l_1}h^{l_2}$ [/mm] mit geeignetem [mm] $l_1$ [/mm] und [mm] $l_2$ [/mm] ausdrücken und die ordnung der gruppe wäre leicht abzulesen.
grüße
andreas
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 18:59 Mi 24.10.2007 | | Autor: | Manabago |
Ok, danke! So in etwa hab ich das eh gemacht (gottseidank sind g und h selbstinvers ;)). Lg
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