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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 17:00 Mi 27.01.2010 | | Autor: | Doemmi |
| Aufgabe | | Man bestimme die Anzahl der Elemente der alternierenden Gruppe [mm] A_{n}. [/mm] (Tipp: Konstruiere eine Bijektion [mm] \psi: A_{n} \to S_{n} [/mm] - [mm] A_{n} [/mm] ) |
Ich weiß, dass die Anzahl der Elemente n!/2 beträgt.
Es ist die Anzahl der Permutationen, die eine gerade Anzahl an Fehlständen haben, deren Signum also 1 ist.
Mir erscheint es eigentlich völlig logisch, dass gleich viele gerade Permutationen wie ungerade gibt, aber ich weiß nicht, wie ich es zeigen soll.
Der Tipp sagt mir rein garnichts.
Wir haben definiert:
[mm] A_{n} [/mm] = { [mm] \pi \in S_{n} [/mm] | [mm] sgn\pi [/mm] = 1 }
[mm] S_{n} [/mm] - [mm] A_{n} [/mm] = { [mm] \pi \in S_{n} [/mm] | [mm] sgn\pi [/mm] = -1 }
[mm] S_{n} [/mm] - [mm] A_{n} [/mm] = [mm] rA_{n} [/mm] = [mm] A_{n}r [/mm] , r [mm] \in S_{n} [/mm] ist ungerade Permutation
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 17:22 Mi 27.01.2010 | | Autor: | pelzig |
> Man bestimme die Anzahl der Elemente der alternierenden
> Gruppe [mm]A_{n}.[/mm] (Tipp: Konstruiere eine Bijektion [mm]\psi: A_{n} \to S_{n}[/mm]
> - [mm]A_{n}[/mm] )
> Ich weiß, dass die Anzahl der Elemente n!/2 beträgt.
> Es ist die Anzahl der Permutationen, die eine gerade
> Anzahl an Fehlständen haben, deren Signum also 1 ist.
> Mir erscheint es eigentlich völlig logisch, dass gleich
> viele gerade Permutationen wie ungerade gibt, aber ich
> weiß nicht, wie ich es zeigen soll.
> Der Tipp sagt mir rein garnichts.
Probiers doch mal mit der Abbildung [mm] $f:A_n\ni \varphi\mapsto\varphi\circ\tau_{12}\in S_n-A_n$, [/mm] wobei [mm] $\tau_{12}$ [/mm] die Transposition von 1 und 2 ist, d.h. [mm] $$\tau_{12}(n)=\begin{cases}2&n=1\\1&n=2\\n&\text{sonst}\end{cases}$$ [/mm] Nun zeige dass [mm]f[/mm] bijektiv ist.
Gruß, Robert
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:28 Do 28.01.2010 | | Autor: | Doemmi |
Vielen Dank für deine Antwort!
Ich schnall es in keinster Weise. Ich verstehe nicht, was das für eine Abbildung ist, die du mir gegeben hast. Also es sagt mir wirklich rein garnichts :-( Die ganze Thematik ist mir irgendwie ein völliges Rätsel, obwohl es ja nicht so schwer zu sein scheint.
Ich soll eine gerade Permutation auf eine ungerade abbilden. Wenn das bijektiv ist, ist ja völlig logisch, dass die Mächtigkeit beider Mengen gleich ist, aber wie gesagt, ich verstehe die Abbildung selbst nicht und dann schon garnicht, wie ich beweise, dass diese bijektiv ist.
Wäre dankbar für weitere Tipps.
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(Antwort) fertig | | Datum: | 20:09 Do 28.01.2010 | | Autor: | pelzig |
Dass [mm] $S_n$ [/mm] zusammen mit der Verkettung von Abbildungen [mm] $\circ$ [/mm] eine Gruppe ist weißt du. Das [mm] $\tau_{12}$ [/mm] was ich dir defiiert habe ist ein Element in [mm] $S_n$, [/mm] um genau zu sein eine ungerade Permutation. Diese Abbildung die du jetzt betrachten sollst ist [mm] $$f:A_n\ni \varphi\mapsto \varphi\circ\tau_{12}\in S_n [/mm] - [mm] A_n$$ [/mm] d.h. die Abbildung schickt eine (gerade) Permutation auf sich selbst verkettet mit [mm] $\tau_{12}$. [/mm] Jetzt musst du zeigen:
1) f ist wohldefiniert, d.h. wenn [mm] $\varphi$ [/mm] gerade ist (d.h. [mm] $\varphi\in A_n), [/mm] dann ist [mm] $\varphi\circ\tau_{12}$ [/mm] ungerade (d.h. [mm] $\varphi\circ\tau_{12}\in S_n [/mm] - [mm] A_n$)
[/mm]
2) f ist injektiv und surjektiv.
Gruß, Robert
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(Antwort) fertig | | Datum: | 20:18 Do 28.01.2010 | | Autor: | pelzig |
Übrigens: ein wesentlich eleganterer Weg ist folgender, dazu muss man aber schon ein paar Sachen mehr wissen:
Die Abbildung [mm] $\alpha:S_n\ni\varphi\mapsto\operatorname{sgn}(\varphi)\in\IZ^\*$ [/mm] ist für [mm] $n\ge [/mm] 2$ ein Epimorphismus, wobei [mm] $\IZ^\*=\{-1,1\}$ [/mm] die Einheitengruppe der ganzen Zahlen ist. Insbesondere ist [mm] $\ker\alpha=A_n$ [/mm] ein Normalteiler in [mm] $S_n$ [/mm] und nach einem Isomorphiesatz ist [mm] $S_n/A_n\cong\IZ^\*$, [/mm] insbesondere ist also nach dem Satz von Lagrange [mm] $|S_n|=|\IZ^\*|\cdot|A_n|=2\cdot|A_n|$.
[/mm]
Gruß, Robert
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