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| Aufgabe | | Sei [mm] n\ge3 [/mm] eine ganze Zahl, und [mm] R=\pmat{ cos(\bruch{2\pi}{n}) & -sin(\bruch{2\pi}{n}) \\ sin(\bruch{2\pi}{n}) & cos(\bruch{2\pi}{n}) }\in GL_2(\IR). [/mm] Zeigen Sie dass gilt: ord(R)=n |
Moin, vielleicht könnt Ihr mir bei obiger Aufgabe weiterhelfen:
Um die Ordnung der Matrix R zu berechnen muss ich die kleinste natürliche Zahl n suchen für die [mm] gilt:R^n=E, [/mm] wobei E die Einheitsmatrix ist.
Ich habe versucht diese mit vollständiger Induktion zu zeigen.
IA: Sei n=3: Dann gilt:
[mm] R=\pmat{ cos(\bruch{2\pi}{3}) & -sin(\bruch{2\pi}{3}) \\ sin(\bruch{2\pi}{3}) & cos(\bruch{2\pi}{3}}=\pmat{\bruch{-1}{2} & \bruch{-\wurzel{3}}{2} \\ \bruch{\wurzel{3}}{2} & \bruch{-1}{2}} [/mm] und es lässt sich einfach nachrechnen, dass [mm] R^3=E.
[/mm]
Jetzt möchte ich den Schritt von n auf n+1 zeigen, also starte ich mit
[mm] \pmat{ cos(\bruch{2\pi}{n+1}) & -sin(\bruch{2\pi}{n+1}) \\ sin(\bruch{2\pi}{n+1}) & cos(\bruch{2\pi}{n+1}) } [/mm] aber jetzt muss ich doch irgendwie was rausziehen um meinen IA benutzen zu können aber da komm ich leider nicht weiter. Seht Ihr da eine Möglichkeit?
Oder gibt es eine Alternative das zu beweisen?
Ich freu mich über Eure Antworten
LG Susi
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> Sei [mm]n\ge3[/mm] eine ganze Zahl, und [mm]R=\pmat{ cos(\bruch{2\pi}{n}) & -sin(\bruch{2\pi}{n}) \\ sin(\bruch{2\pi}{n}) & cos(\bruch{2\pi}{n}) }\in GL_2(\IR).[/mm]
> Zeigen Sie dass gilt: ord(R)=n
> Moin, vielleicht könnt Ihr mir bei obiger Aufgabe
Moin,
mit Induktion nach n klappt das vermutlich nicht.
Zunächst solltest du dir überlegen, wie [mm]R^k[/mm] für k=1,2,3,... mit fest gewähltem n aussieht.
Einen Ausdruck für [mm]R^k[/mm] findest du, wenn du dir klarmachst, dass R eine Drehung um den Winkel [mm]\frac{2\pi}{n}[/mm] beschreibt.
Zum Beweis bietet sich dann eine Induktion nach k an.
Wenn du das hast, siehst du, für welche k die Einheitsmatrix rauskommt.
> weiterhelfen:
>
> Um die Ordnung der Matrix R zu berechnen muss ich die
> kleinste natürliche Zahl n suchen für die [mm]gilt:R^n=E,[/mm]
> wobei E die Einheitsmatrix ist.
>
> Ich habe versucht diese mit vollständiger Induktion zu
> zeigen.
> IA: Sei n=3: Dann gilt:
> [mm]R=\pmat{ cos(\bruch{2\pi}{3}) & -sin(\bruch{2\pi}{3}) \\ sin(\bruch{2\pi}{3}) & cos(\bruch{2\pi}{3}}=\pmat{\bruch{-1}{2} & \bruch{-\wurzel{3}}{2} \\ \bruch{\wurzel{3}}{2} & \bruch{-1}{2}}[/mm]
> und es lässt sich einfach nachrechnen, dass [mm]R^3=E.[/mm]
>
> Jetzt möchte ich den Schritt von n auf n+1 zeigen, also
> starte ich mit
> [mm]\pmat{ cos(\bruch{2\pi}{n+1}) & -sin(\bruch{2\pi}{n+1}) \\ sin(\bruch{2\pi}{n+1}) & cos(\bruch{2\pi}{n+1}) }[/mm]
> aber jetzt muss ich doch irgendwie was rausziehen um meinen
> IA benutzen zu können aber da komm ich leider nicht
> weiter. Seht Ihr da eine Möglichkeit?
>
> Oder gibt es eine Alternative das zu beweisen?
> Ich freu mich über Eure Antworten
> LG Susi
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