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Guten Morgen,
ich habe mal eine Frage zum Begriff der Ordnung.
Ich habe folgende Menge
M={(1,2)(3,4),(1,3)(2,4),(1,4)(2,3)}
Das sind ja jeweils Produkt elementefremder Zykel. Nun meine Frage, welche Ordnung haben die Elemente aus M und welche Ordnung hat M?
Ich hab gehört, dass die Ordnung von M das kgV der Elemente aus M ist. Stimmt das?
Danke für jede Antwort!
VG mathmetzsch
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Ich glaube, da bringst du einiges durcheinander.
1.
Unter der Ordnung eines Gruppenelementes [mm]\alpha[/mm] versteht man die kleinste natürliche Zahl [mm]d[/mm] mit [mm]\alpha^d = 1[/mm].
Bei Permutationsgruppen ist es nun tatsächlich so, daß die Ordnung einer Permutation das [mm]\operatorname{kgV}[/mm] der Ordnungen der elementfremden Zykel ist, in die die Permutation zerfällt.
In deinem Falle sind alle Zykel Transpositionen. Diese haben die Ordnung 2. Daher haben auch alle drei Permutationen in [mm]M[/mm] die Ordnung 2.
2.
Unter der Ordnung einer Menge versteht man in diesem Zusammenhang die Anzahl der Elemente der Menge. So hätte also hier [mm]M[/mm] die Ordnung 3, einfach weil [mm]M[/mm] aus 3 Elementen besteht. Von Interesse in der Gruppentheorie sind allerdings nur Mengen mit einem gewissen "Profil", z.B. Untergruppen, Normalteiler, Restklassen, Bahnen, weil man dann Zusammenhänge zwischen deren Ordnung und der Gruppenordnung aufstellen kann. Nur wenn [mm]M[/mm] ein solch besonderes "Profil" hat, hat ihre Ordnung 3 hier auch eine Aussagekraft.
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Hallo,
also M soll zusammen mit id einen Normalteiler der Ordnung 4 in der alternierenden Gruppe [mm] A_{4} [/mm] bilden. Dass M ein Normalteiler ist, habe ich schon bewiesen, aber wie sehe ich, dass dieser Ordnung 4 hat?
VG mathmetzsch
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> Hallo,
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> also M soll zusammen mit id einen Normalteiler der Ordnung
> 4 in der alternierenden Gruppe [mm]A_{4}[/mm] bilden. Dass M ein
> Normalteiler ist,
Hallo,
M [mm] \cup [/mm] {id} meinst Du gewiß...
habe ich schon bewiesen, aber wie sehe
> ich, dass dieser Ordnung 4 hat?
Indem Du die Elemente von M [mm] \cup [/mm] {id} zählst. Es sind 4. Nicht id vergessen, denn ohne id ist's keine Gruppe.
Gruß v. Angela
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