Option auf Option (Call/Call) < Finanzmathematik < Finanz+Versicherung < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) reagiert/warte auf Reaktion  | | Datum: | 14:56 Mo 19.09.2005 | | Autor: | Polynomy |
Hallo zusammen!
Ich habe ein riesengroßes Problem, mit dem ich mich schon seit Wochen vergeblich beschäftige. Ich soll das Delta, Gamma,... eines eur. Calls auf einen eur. Call (Compound Option) berechnen, das Ergebnis habe ich, aber ich komme nicht drauf, bzw. bin mir nicht ganz sicher, ob alles stimmt.
Die Situation ist diese:
Im Moment ist der Zeitpunkt 0. Im Zeitpunkt [mm] T_1 [/mm] ist die Mutteroption/Compound Option C fällig und gibt mir das Recht, zum Strikepreis [mm] K_1 [/mm] die Tochteroption c zu kaufen. Diese endet im Zeitpunkt [mm] T_2 [/mm] und hat den Strike [mm] K_2.
[/mm]
Der heutige Wert des Calls auf Call ist:
[mm] $$C^c (0,S)=SN_2(d_1(S,X,T_1), d_1(S,K_2,T_2),\rho)-K_2e^{-rT_2} N_2(d_2(S,X,T_1), d_2(S,K_2,T_2),\rho)-K_1e^{-rT_1}N(d_1(S,X,T_1)),$$
[/mm]
wobei [mm] $$d_1(a,b,T):=\bruch{\ln(\bruch{a}{b})+(r+0.5\sigma^2)T}{\sigma \wurzel{T}}$$
[/mm]
[mm] $$d_2(a,b,T):=d_1(a,b,T)-\sigma\wurzel{T}$$
[/mm]
[mm] $$\rho=\wurzel{\bruch{T_1}{T_2}}.$$
[/mm]
S ist der heutige Aktienkurs, N ist die Verteilungsfunktion der Standardnormalverteilung, [mm] $N_2$ [/mm] ist die Verteilungsfunktion der bivariaten Standardnormalverteilung, d.h.
[mm] $$N(x)=\Phi(x)=\int_{-\infty}^x\limits\varphi(u)du=\int_{-\infty}^x\bruch{1}{\wurzel{2\pi}}e^{-\bruch{u^2}{2}}du.$$
[/mm]
[mm] $$N_2(x,y;\rho)=\int_{-\infty}^y\limits \int_{-\infty}^x\limits\varphi_2(u,v,\rho)du [/mm] dv$$
[mm] $$=\bruch{1}{2\pi \wurzel{1-\rho^2}} \int_{-\infty}^{x}\limits\int_{-\infty}^{y}\limits e^{- \bruch{u^2-2\rho uv + v^2}{2\wurzel{1-\rho^2}}}dudv$$
[/mm]
und X ist der kritische Aktienkurs im Zeitpunkt [mm] T_1, [/mm] bei dem die Compound Option ausgeübt wird, d.h. X erfüllt folgende Gleichung (c=Wert des Underlyings(=Tochteroption) in [mm] T_1):
[/mm]
[mm] $$c(T_1,X)=K_1.$$
[/mm]
Da es sich um eine europäische Option handelt, kann man c mit der Black-Scholes-Gleichung berechnen, d.h. man hat folgende Gleichung für X:
[mm] $$S_{T_1}N(d_1(S_{T_1},K_2,T_2-T_1))-K_2e^{-r(T_2-T_1)}N(d_2(S_{T_1},K_2,T_2-T_1))-K_1=0.$$
[/mm]
bzw. [mm] $$XN(d_1(X,K_2,T_2-T_1))-K_2e^{-r(T_2-T_1)}N(d_2(X,K_2,T_2-T_1))-K_1=0.$$
[/mm]
Um das Delta der Option zu berechnen, muss ich also die Formel von [mm] $C^c$ [/mm] nach S ableiten.
Und jetzt geht es los!! Man muss also für das DELTA die drei Summanden einzeln nach S ableiten und dabei im ersten Summanden die Produktregel beachten, in allen dreien die Kettenregel.
Das habe ich jetzt eben alles hinbekommen, aber eine Sache habe ich benutzt, bei der ich mir nicht sicher bin.
Da der kritische Aktienkurs X auch nach S abgeleitet werden muss, braucht man [mm] $\bruch{\partial X}{\partial S}$.
[/mm]
Ich habe mir folgendes überlegt und möchte wissen, ob es stimmt (beim Gamma kommt dann nämlich nicht das raus, was rauskommen sollte):
X ist der kritische Aktienkurs im Zeitpunkt [mm] $T_1$, [/mm] d.h. man kann
schreiben
[mm] $$X=S_{T_1}^*=S*e^{\sigma Z_{T_1}+(r-0.5 \sigma^2)T_1},$$ [/mm] wobei Z einen Standard-Wiener-Prozess darstellt.
Für die partielle Ableitung nach S
ergibt sich daher: [mm] $$\frac{\partial X}{\partial S}=e^{\sigma Z_{T_1}+(r-0.5 \sigma^2)T_1}=\frac{X}{S}.$$
[/mm]
Ich habe also immer mit [mm] $\bruch{\partial X}{\partial S}=\bruch{X}{S}$ [/mm] gerechnet, was ich sehr suspekt finde! Aber so kommt das Delta raus, was rauskommen soll.
Kann mir jemand sagen, ob man den kritischen Aktienkurs so einfach ableiten kann? Oder muss man da irgendwie mit impliziter Differentiation ran, wie auch immer???
Über jede Hilfe bin ich dankbar!
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 10:30 Di 20.09.2005 | | Autor: | Stefan |
Hallo Polynomy!
Also, ich bin der Meinung, dass du das so machen darfst; jedenfalls habe ich keinen Fehler entdeckt.
Vielleicht kannst du ja mal deine Rechnung zum [mm] $\Gamma$ [/mm] in Ausführlichkeit nachliefern (und das, was rauskommen soll), dann können wir dort ja gemeinsam nach dem Fehler suchen.
Liebe Grüße
Stefan
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 12:55 Di 20.09.2005 | | Autor: | Polynomy |
Hi Stefan,
ich hab mir nochmal meine Ableitung [mm] $\bruch{\partial X}{\partial S}=\bruch{X}{S}$ [/mm] angesehen und frage mich, ob der Wiener-Prozess Z nicht auch vom aktuellen Aktienkurs abhängt. Es ist ja [mm] $dS=\mu [/mm] S [mm] dt+\sigma [/mm] S dZ$.
Ich hatte ja überlegt: X ist der kritische Aktienkurs im Zeitpunkt [mm] $T_1$, [/mm] d.h. man kann
schreiben
[mm] $$X=S_{T_1}^{\*}=S*e^{\sigma Z_{T_1}+(r-0.5 \sigma^2)T_1},$$ [/mm] Für die partielle Ableitung nach S ergibt sich daher:
[mm] $$\frac{\partial X}{\partial S}=e^{\sigma Z_{T_1}+(r-0.5 \sigma^2)T_1}=\frac{X}{S}.$$
[/mm]
Evtl. müsste hier die innere Ableitung [mm] $\bruch{\partial Z}{\partial S}$ [/mm] berücksichtigt werden. (??) Von Wiener-Prozessen versteh ich leider nicht so viel.
Aber ich finde es schon komisch, dass man [mm] $\bruch{\partial X}{\partial S}=\bruch{X}{S}$ [/mm] hat, ohne mit der Bedingung an X überhaupt gerechnet zu haben, d.h. ohne zu benutzen, dass [mm] $c(T_1,X)=K_1$ [/mm] gilt. Bzw. man müsste doch eventuell irgndwie folgende Gleichung ausnutzen:
[mm] $$XN(d_1(X,K_2,T_2-T_1))-K_2e^{-r(T_2-T_1)}N(d_2(X,K_2,T_2-T_1))-K_1=0.$$ [/mm]
Oder ist das dadurch geschehen, dass das Ergebnis der Ableitung [mm] $\bruch{\partial X}{\partial S}=\bruch{X}{S}$ [/mm] immer noch von X abhängt??
Wenn das mit der Ableitung tatsächlich stimmt, dann gilt ja immer:
[mm] $$\bruch{\partial d_1(S,X;T_1)}{\partial S}=\bruch{1}{S\sigma\wurzel{T_1}}-\bruch{1}{X\sigma\wurzel{T_1}}\bruch{X}{S}=0,$$ [/mm] was die ganze Ableitung sehr erleichtert.
Außerdem gilt das dann für jeden zukünftigen Aktienkurs, nicht nur für [mm] $S_{T_1}$, [/mm] sondern für alle, man hätte dann ja [mm] $$\bruch{\partial S_T}{\partial S}=\bruch{S_t}{S}$$ [/mm] für alle T>0. Oder???
Naja, das Problem ist jetzt beim Gamma.
Gamma ist ja das nach S abgeleitete Delta. Man hat daher:
[mm] \begin{eqnarray*}
\Gamma&=&\frac{\partial^2 C^C}{\p S^2}= \frac{\partial}{\partial S}N_2( d_1(S,X,T_1), d_1(S,K_2,T_2); \rho)\\
&=&\frac{\partial d_1(S,X; T_1)}{\partial S}n(d_1(S,X; T_1))N\left(\frac{ d_1(S,K_2;T_2)- \rho d_1 S,X; T_1)}{\wurzel{1-\rho^2}}\right)\\
&+& \frac{\partial d_1(S,K_2; T_2)}{\partial S}n( d_1(S,K_2;T_2))N\left(\frac{ d_1(S,X; T_1)-\rho d_1(S,K_2;T_2)}{\wurzel{1-\rho^2}}\right)\\
&=&\frac{1}{S \sigma\sqrt{T_1}}-\frac{1}{X \sigma\sqrt{T_1}}\frac{\partial X}{\partial S}] n( d_1(S,X; T_1))N\left(\frac{ d_1(S,K_2; T_2)- d_1(S,X;T_1)}{\wurzel{1-\rho^2}}\right)\\
&+& \frac{1}{S\sigma\sqrt{T_2}}n( d_1(S,K_2; T_2))N\left(\frac{d_1(S,X; T_1)- \rho d_1(S,K_2;T_2)}{\wurzel{1-\rho^2}}\right)\\
&=&\frac{1}{S\sigma\sqrt{T_2}}n(d_1(S,K_2; T_2))N\left(\frac{ d_1(S,X; T_1)- \rho d_1(S,K_2;T_2)}{\wurzel{1-\rho^2}}\right)
\end{eqnarray*}
[/mm]
(ich finde den Fehler einfach nicht - die Formel wird nie richtig dargestellt)
Theoretisch könnte man die zweite Zeile direkt streichen wegen [mm] $$\bruch{\partial d_1(S,X;T_1)}{\partial S}=0.$$
[/mm]
Das Ergebnis ist zwar schön, aber Wystup (http://www.mathfinance.de/formulas/index.html --> Compound Option) hat ein anderes Ergebnis(auch andere Bezeichnungen). Bei ihm wäre das Ergebnis für Gamma in meiner Notation
[mm] $$\frac{1}{S\s\sqrt{T_2}}n(d_1(S,K_2; T_2))N\left(\frac{ d_1(S,X; T_1)- \rho d_1(S,K_2;T_2)}{\wurzel{1-\rho^2}}\right)+\frac{1}{S\s\sqrt{T_1}}n(-d_1(S,X; T_1))N(d_1(S_{T_1},K_2,T_2-T_1))$$
[/mm]
Durch Umformen hat man [mm] $$N(d_1(X,K_2,T_2-T_1))=N\left(\frac{d_1(S,X; T_1)- \rho d_1(S,K_2;T_2)}{\wurzel{1-\rho^2}}\right)$$. [/mm] (STIMMT NICHT!)(muss ich nochmal nachrechnen!)
Man hat:
[mm] $$N(d_2(X,K_2,T_2-T_1))=N\left(\frac{d_2(S,K_2; T_2)- \rho d_2(S,X;T_1)}{\wurzel{1-\rho^2}}\right)$$.
[/mm]
D.h. der zweite Summand fällt bei mir fälschlicherweise (?) weg. Bzw. Wystup beachtet gar nicht den Zusammenhang zwischen X und S!!! Muss man aber doch, oder nicht?? Bei Delta hab ich es getan und komme auf das richtige Ergebnis.
Sehr komisch. Der kritische Aktienkurs hängt doch von S ab, und man muss ihn beachten. Ich habe leider sonst keine Formel für die Greeks von Compound Options, ich habe das ganze Internet durchforstet. Geske leitet nicht die Formel ab, sondern benutzt für die Greeks irgendeine Leibnitz-Integral-Regel und kommt auf ganz andere SAchen...
Meine Fragen sind quasi:
1) Muss ich die innere Ableitung [mm] $\bruch{\partial X}{\partial S}$ [/mm] beachten?
2) Wenn ja: ist X/S richtig?
Ich kann ja meine Delta-Rechnung mal anhängen, aber die kann ich bestimmt auch nicht anzeigen lassen. So, ich hab sie einzeln als Pdf-Dokument, weiß aber nicht, wie man sie hier anhängt.
Ich such mal, wie das geht, dann schreib ich nochmal.
Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: pdf) [nicht öffentlich]
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:40 Do 22.09.2005 | | Autor: | Polynomy |
Hallo nochmal,
was ich vor 2 Tagen geschrieben habe, muss sich wirklich niemand durchlesen.
Meine einzige Frage ist folgende:
Falls ich für den Aktienkurs eine Geom. Brown. Bewegung
[mm] $$dS_t=\mu S_t [/mm] dt + [mm] \sigma S_t dZ_t$$ [/mm] unterstelle, wobei [mm] $dZ_t$ [/mm] ein Standard-Wiener-Prozess ist, hängt dann [mm] $Z_t$ [/mm] von [mm] $S_0$ [/mm] ab und wenn ja, wie?
Gesucht ist also [mm] $\bruch{\partial Z_t}{\partial S_0}.$
[/mm]
Kennt sich jemand mit Brownschen Bewegungen so gut aus, dass er mir bei dieser Sache helfen kann?
Danke
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 08:57 Fr 23.09.2005 | | Autor: | Stefan |
Hallo Polynomy!
Nein, der gesamte Prozess [mm] $(Z_t)_{t \ge 0}$ [/mm] ist unabhängig von [mm] $S_0$.
[/mm]
Aber damit haben sich doch nicht alle deine Fragen erledigt, oder doch? ![[haee]](/images/smileys/haee.gif "[haee]")
Ich habe mir den anderen Beitrag zur Hälfte bereits angeschaut. Soll ich das jetzt nicht weiterführen, weil eh alles klar ist? Ich dachte es gäbe Probleme mit der Berechnung des Gamma, oder haben sich diese verflüchtigt?
Viele Grüße
Stefan
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 09:54 Fr 23.09.2005 | | Autor: | Polynomy |
Hi Stefan,
danke erstmal für die Antwort!
Wenn der Prozess Z wirklich unabhängig von [mm] S_0 [/mm] ist, dann muss ja tatsächlich
[mm] $\bruch{\partial S_T}{\partial S_0}=\bruch{S_T}{S_0}$ [/mm] gelten, und das somit auch für das X als [mm] S_T.
[/mm]
Wenn das so stimmt, muss die Formel von Wystup falsch sein, und ich hatte eigentlich vor, das so hinzunehmen!  (Ich weiß, es ist sehr riskant, eine Behauptung eines Professors als falsch anzusehen, aber ich finde bei mir einfach keinen Fehler! *G*)
Wenn du dir die Berechnungen schon angesehen hast, wär es doch ganz nett, wenn du mir sagen kannst, ob ich mich da nicht vertan hab. Das einzige, was falsch sein müsste, ist
[mm] $$\bruch{\partial d_1(S,X,T_1)}{\partial S}.$$
[/mm]
In diesem Term kommt nämlich dann als einziges
[mm] $\bruch{\partial S_T}{\partial S_0}=\bruch{S_T}{S_0}$ [/mm] vor. Das scheint Wystup vernachlässigt zu haben. Oder er hat irgendwie sonst gerechnet.
Ich habe ihm schon eine e-mail geschrieben, die er auch sehr schnell beantwortet hat. Er hat die Rechnungen zu seinen Greeks nicht mehr und er hat auch nicht die Zeit, sich nochmal damit zu beschäftigen, was ich verstehe.
Eigentlich möchte ich auch niemanden damit belästigen, aber ich kenne niemanden, der mir hierbei helfen kann. Und außer Wystups Formelsammlung habe ich auch nirgendwo sonst eine Auflistung der Greeks von Compound Options gefunden. Komisch ist nur, dass das Delta bei Wystup stimmt, das Gamma aber nicht. Irgendwo muss ich mich vertan haben, aber wo??
Ist dieses Z unabhängig von allen Parametern, also von S, r, sigma,....?
Ich rechne auch nochmal alles durch, irgendwo muss ich mich verrechnet haben.
Aber danke, dass du es auch nochmal versuchst.
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(Antwort) fertig | | Datum: | 10:27 Fr 23.09.2005 | | Autor: | Stefan |
Hallo Polynomy!
Also, ich würde nicht so schnell die Rechnung des Profs anzweifeln. Irgendwo hier in dem Artikel steht ja auch: "Falsch, muss ich nochmal nachrechnen". Hast du das mittlerweile gemacht?
> [mm]\bruch{\partial d_1(S,X;T_1)}{\partial S}=\bruch{1}{S\sigma\wurzel{T_1}}-\bruch{1}{X\sigma\wurzel{T_1}}\bruch{X}{S}=0,[/mm]
Die Rechnung kann ich nicht nachvollziehen, aber das Ergebnis stimmt meiner Ansicht nach.  Ich habe:
[mm]\bruch{\partial d_1(S,X;T_1)}{\partial S} = \frac{1}{\sigma \sqrt{T_1}} \cdot\frac{X}{S} \cdot \left( \frac{X- S \cdot \frac{X}{S}}{X^2} \right) = 0[/mm].
Hmmh, es wird dir -wenn der Prof sich weigert das nachzurechnen- nichts anderes übrigbleiben, als die Greeks numerisch-simulativ zu bestimmen (also die numerischen partiellen Ableitungen zu bilden, unter Verwendung stochastischer Simulationen für die Aktienverläufe) und dann zu schauen, welche Lösung die wahrscheinlichere ist.
Liebe Grüße
Stefan
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 10:46 Fr 23.09.2005 | | Autor: | Polynomy |
Hallo,
oh jeh... numerische Simulationen sind nicht wirklich mein Spezialgebiet, aber das ist trotzdem eine sehr gute Idee, die ich auf jeden Fall versuchen werde.
Ich guck jetzt nochmal genau das Gamma nach und die Stelle, wo ich was Falsches benutzt habe.
Ich glaub, die Greeks wird der Prof sowieso nicht komplett nachrechnen, aber es stört MICH, dass ich nicht auf das richtige Ergebnis komme. Es ist ja nur rechnen, nur ableiten. Und das sollte ich doch wohl schaffen....
Vielen, vielen Dank für deine Bemühungen und Hilfen,
irgendwann werd ich bestimmt nochmal eine Frage haben (leider).
Bis dann,
P.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 10:53 Fr 23.09.2005 | | Autor: | Polynomy |
Also, so ganz versteh ich nicht, wie du [mm] d_1 [/mm] ableitest, aber immerhin kommen wir aufs selbe Ergebnis.
Es ist doch
[mm] $$d_1(S,X,T_1)=\bruch{\ln S - \ln X + (r+0.5\sigma^2)T_1}{\sigma \sqrt{T_1}}.$$
[/mm]
Wenn ich das ableite, habe ich
[mm] $$\bruch{\partial d_1(S,X,T_1)}{\partial S} [/mm] = [mm] \bruch{1}{\sigma \sqrt{T_1}}(\bruch{1}{S}-\bruch{1}{X}\bruch{X}{S}) [/mm] = 0.$$
Wie du genau die Quotientenregel anwendest, wobei X im Nenner steht, versteh ich nicht.
Aber Hauptsache, es kommt auch 0 raus.
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(Antwort) fertig | | Datum: | 10:57 Fr 23.09.2005 | | Autor: | Stefan |
Hallo Polynomy!
Ich habe so gerechnet:
[mm] $d_1(S,X,T_1) [/mm] = [mm] \frac{\ln \left( \frac{S}{X} \right) + (r + 0.5 \sigma^2)T_1}{\sigma \sqrt{T_1}}$.
[/mm]
Wenn ich [mm] $\ln \left( \frac{S}{X} \right)$ [/mm] nach $S$ ableite, muss ich innen die Quotientenregel anwenden.
Aber ich gebe zu, dass mir deine Rechnung einfacher erscheint.
Liebe Grüße
Stefan
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 11:20 Fr 23.09.2005 | | Autor: | Polynomy |
Jau,
dann macht auch die Quotientenregel Sinn!!
Da hätt ich auch selbst drauf kommen können!
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