Optimierungsaufgabe < mehrere Veränderl. < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 13:37 Sa 11.07.2009 | | Autor: | tedd |
| Aufgabe | Aus einem Baumstamm mit kreisrundem Querschnitt soll bei gegebenem Radius r ein rechteckiger Balken mit maximalem Widerstandsmoment [mm] W=\bruch{b*h^2}{6} [/mm] mit der Breite b und der Höhe h geschnitten werden.
Wie sind b und h zu wählen? |
Also sowas fängt man ja sinnvollerweise erstmal mit einer Skizze an:
[Dateianhang nicht öffentlich]
Jetzt kann man versuchen zusammenhänge zwischen den gegebenen Größen zu suchen und da habe ich folgendes gefunden:
[mm] r=\bruch{1}{2}*\sqrt{b^2+h^2}
[/mm]
[mm] \gdw h^2=4*r^2-b^2
[/mm]
Für das Widerstandsmoment gilt daher:
[mm] W=\bruch{b*h^2}{6}=\bruch{b*(4*r^2-b^2)}{6}
[/mm]
Muss ich dafür dann noch einen Definitionsbereich festlegen?
Der wäre dann denke ich:
[mm] 4*r^2-b^2>0
[/mm]
[mm] \gdw b^2<4*r^2
[/mm]
[mm] \gdw [/mm] b<2*r
Ausserdem muss b >0 sein.
Dann ist [mm] b\in]0;2*r[ [/mm] ?
[mm] W(b)=\bruch{b*(4*r^2-b^2)}{6}=\bruch{4*r^2*b-b^3}{6}
[/mm]
Hat jetzt keine Randpunkte und ist überall diff'bar:
[mm] W'(b)=\bruch{4*r^2-3*b^2}{6}
[/mm]
W'(b)=0 [mm] \gdw 4*r^2-3*b^2=0 \gdw b=\sqrt{\bruch{4*r^2}{3}}
[/mm]
links von [mm] b=\sqrt{\bruch{4*r^2}{3}} [/mm] ist W'(b) positiv, rechts davon negativ, also ist an der Stelle [mm] b=\sqrt{\bruch{4*r^2}{3}} [/mm] ein lokales Maximum.
Links von [mm] b=\sqrt{\bruch{4*r^2}{3}} [/mm] ist die Funktion sogar streng monoton wachsend und rechts davon streng monoton fallend, also ist die gefundene Stelle ein globales Maximum.
Mit [mm] b=\sqrt{\bruch{4*r^2}{3}}=\bruch{2}{\sqrt{3}}*r [/mm] ist
[mm] h^2=4*r^2-\bruch{4*r^2}{3}=\bruch{8}{3}*r^2 \gdw h=\bruch{4}{\sqrt{3}}*r
[/mm]
Habe ich alles richtig gemacht?
Danke und Gruß,
tedd
Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: JPG) [nicht öffentlich]
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Hallo tedd,
> Aus einem Baumstamm mit kreisrundem Querschnitt soll bei
> gegebenem Radius r ein rechteckiger Balken mit maximalem
> Widerstandsmoment [mm]W=\bruch{b*h^2}{6}[/mm] mit der Breite b und
> der Höhe h geschnitten werden.
> Wie sind b und h zu wählen?
> Also sowas fängt man ja sinnvollerweise erstmal mit einer
> Skizze an:
>
> [Dateianhang nicht öffentlich]
>
> Jetzt kann man versuchen zusammenhänge zwischen den
> gegebenen Größen zu suchen und da habe ich folgendes
> gefunden:
>
> [mm]r=\bruch{1}{2}*\sqrt{b^2+h^2}[/mm]
> [mm]\gdw h^2=4*r^2-b^2[/mm]
>
> Für das Widerstandsmoment gilt daher:
>
> [mm]W=\bruch{b*h^2}{6}=\bruch{b*(4*r^2-b^2)}{6}[/mm]
> Muss ich dafür dann noch einen Definitionsbereich
> festlegen?
> Der wäre dann denke ich:
> [mm]4*r^2-b^2>0[/mm]
> [mm]\gdw b^2<4*r^2[/mm]
> [mm]\gdw[/mm] b<2*r
> Ausserdem muss b >0 sein.
> Dann ist [mm]b\in]0;2*r[[/mm] ?
>
> [mm]W(b)=\bruch{b*(4*r^2-b^2)}{6}=\bruch{4*r^2*b-b^3}{6}[/mm]
>
> Hat jetzt keine Randpunkte und ist überall diff'bar:
>
> [mm]W'(b)=\bruch{4*r^2-3*b^2}{6}[/mm]
>
> W'(b)=0 [mm]\gdw 4*r^2-3*b^2=0 \gdw b=\sqrt{\bruch{4*r^2}{3}}[/mm]
>
> links von [mm]b=\sqrt{\bruch{4*r^2}{3}}[/mm] ist W'(b) positiv,
> rechts davon negativ, also ist an der Stelle
> [mm]b=\sqrt{\bruch{4*r^2}{3}}[/mm] ein lokales Maximum.
> Links von [mm]b=\sqrt{\bruch{4*r^2}{3}}[/mm] ist die Funktion sogar
> streng monoton wachsend und rechts davon streng monoton
> fallend, also ist die gefundene Stelle ein globales
> Maximum.
>
> Mit [mm]b=\sqrt{\bruch{4*r^2}{3}}=\bruch{2}{\sqrt{3}}*r[/mm] ist
>
> [mm]h^2=4*r^2-\bruch{4*r^2}{3}=\bruch{8}{3}*r^2 \gdw h=\bruch{4}{\sqrt{3}}*r[/mm]
>
> Habe ich alles richtig gemacht?
Ja, bis auf die letzte Umformung.
Hier muß es heißen:
[mm]h^2=4*r^2-\bruch{4*r^2}{3}=\bruch{8}{3}*r^2 \gdw h=\bruch{\red{2*\wurzel{2}}}{\sqrt{3}}*r[/mm]
>
>
>
> Danke und Gruß,
> tedd
Gruß
MathePower
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