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| Aufgabe | Gegenüber einem Würfel der Kantenlänge x sind die Kaanten der Bodenfläche eines Quaders um 3 LE größer, seine Höhe um 3 LE geringer.
-Bestimmen Sie das Volumen V(x) des Quaders in Abhängigkeit von x und geben sie eine sinnvolle Definitionsmenge an! Mögliches Teilergebnis V(x)= (x²-9)(x+3)
-Berechnen Sie die Kantenlänge x des Würfels so, dass Quader und Würfel gleiches Volumen Haben!
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hey...
Hoffe mir kann bei dieser Aufgabe jemand helfen...ich hab nicht wirklich eine Idee wie man das lösen könnte....WÜrd mich freuen wenn sich das mal jemand anschaut...danke...gruß Fred
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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Hallo Frederic!
Zunächst heiße ich die herzlich ![[willkommenmr]](/images/smileys/willkommenmr.png "[willkommenmr]")
Weiterhin möchte ich dich bezgl. deiner eventuellen folgenden Fragen darum bitten, nicht nur die Fragestellung, sondern auch deine eigenen Lösungsansätze - oder besser noch eine genaue Problembeschreibung - zu posten. Das macht uns die Hilfe leichter, da wir genau wissen, wo wir bei der Hilfe ansetzen können.
Nun zu deiner Frage:
> Gegenüber einem Würfel der Kantenlänge x sind die Kaanten
> der Bodenfläche eines Quaders um 3 LE größer, seine Höhe um
> 3 LE geringer.
>
> -Bestimmen Sie das Volumen V(x) des Quaders in Abhängigkeit
> von x und geben sie eine sinnvolle Definitionsmenge an!
> Mögliches Teilergebnis V(x)= (x²-9)(x+3)
Hier könnte man folgendermaßen vorgehen:
Zunächst könnte man sich notieren, dass das Volumen eines Würfels [mm] V_{W} [/mm] bei einer Kantenlänge von x gleich [mm] V_{W}=a*b*c=x*x*x=x^{3} [/mm] ist.
Nun musst du dir überlegen wie sich die Angaben auf das Volumen des Quaders auswirken. Die Tatsache, dass die Kantenlängen um 3 LE größer sein sollen besagen, dass es sich um einen Quader mit quadratischer Grundfläche handelt. Die beiden Seiten der Grundfläche haben also die Länge (ausgehend von der Kantenlänge x des Würfels) a=x+3 und b=x+3. Die Höhe des Quaders soll, im Vergleich zum Würfel um 3 LE geringer sein, also gilt c=x-3. Setzt man dies nun in die Volumenformel des Quaders ein, so erhält man [mm] V_{Q}=a*b*c=(x+3)(x+3)(x-3). [/mm] Das könnte man nun zu [mm] V_{Q}=(x+3)^{2}(x-3) [/mm] oder zu [mm] V_{Q}=(x+3)(x^{2}-9) [/mm] vereinfachen kann.
> -Berechnen Sie die Kantenlänge x des Würfels so, dass
> Quader und Würfel gleiches Volumen Haben!
Nun, bezugnehmend auf die vorherige Teilfrage muss nun, da die Volumina beider Körper gleich sein sollen, gelten: [mm] V_{W}=V_{Q}
[/mm]
Daraus ergibt sich:
[mm] x^{3}=(x^{2}-9)(x+3)
[/mm]
Die rechte Seite wird ausmultipliziert:
[mm] x^{3}=x^{3}+3x^{2}-9x-27
[/mm]
Auf beiden seiten [mm] -x^{3}:
[/mm]
[mm] 0=3x^{2}-9x-27
[/mm]
Nun durch 3 dividiert:
[mm] 0=x^{2}-3x-9
[/mm]
Lösungsformel für quadratische Gleichungen angewandt:
[mm] x_{1}=\bruch{3}{2}+\wurzel{\bruch{9}{4}+9}=\bruch{3}{2}+\wurzel{11,25} \approx [/mm] 1,5+3,35=4,85
[mm] x_{2}=\bruch{3}{2}-\wurzel{\bruch{9}{4}+9}=\bruch{3}{2}-\wurzel{11,25} \approx [/mm] 1,5-3,35=-1,85
Es sollte klar sein, dass [mm] x_{2} [/mm] als Lösung nicht in Frage kommt, da negative Längen nicht existieren. demnach hat der Würfel eine Kantenlänge von ca. 4,85 LE. Die Längen des Quaders zu berechnen sollte nun nicht mehr allzu schwer fallen, oder?
Gruß,
Tommy
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 14:02 Fr 25.05.2007 | | Autor: | Freddyone |
Vielen DAnk!!
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