Optimierung eines Mittelwertes < Stochastik < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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Man werfe N mal eine manipulierte Münze. Die Wahrscheinlichkeit für Kopf sei p. Der Spieler gewinnt den l-fachen Einsatz, sofern er richtig auf Kopf gesetzt hat, sonst verliert er den gesamten Einsatz. Die Strategie des Spielers besteht darin, dass er immer den gleichen Anteil f seines Kapitals setzt. Was ist der optimale Anteil ? |
Sei W die Zahl der Treffer und L die Zahl der verlorenen SPiele. Das Kapital nach N Würfen ist:
[mm]K_N = (1 + lf)^W \cdot (1-f)^L [/mm]
mit W + L = N. Nun habe ich zwei Lösungsansätze, mit unterschiedlichen Resultaten :
1.) Die Wahrscheinlichkeit, dass ich W mal gewonnen habe ist eine Binomialverteilung, folglich ist der Erwartungswert von K ist gegeben durch
[mm]
\langle K_N \rangle = \sum_W p(W) (1 + lf)^W \cdot (1-f)^(N-L)
[/mm]
[mm]
\langle K_N \rangle = (p(1+lf) + q(1-f))^N
[/mm]
Somit ist der optimale Wert für f gegeben durch
[mm]
\frac{\partial K_N}{\partial f} = 0
[/mm]
Und jetzt kommt das komische Ergebnis
[mm]
f = \frac{1}{1-q(1+l)}
[/mm]
Dies ist ad-hoc falsch, da f grösser als 1 ist.
2.) Ich bilde die Zufallsvariable auf ihren Logarithmus ab und betrachte dessen Mittelwert, also
[mm]
\langle \log K \rangle = Np \log (1+lf) + Nq\log(1-f)
[/mm]
Optimiere ich diese Gleichung, so erhalte ich die Bedingung
[mm]
f = 1 - q(1+ \frac{1}{l})
[/mm]
Dies ergibt wenigstens Sinn, für die Grenzfälle. Nun frage ich mich, wo mein Fehler liegt.
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Eine einfache Überlegung sagt mir, dass für ein unfaires Spiel die Sache klar ist: Ist [mm]l\cdot p>1[/mm], dann sollte ich alles setzen (auch wenn dann die Gefahr besteht, alles zu verlieren), während ich bei [mm]l\cdot p<1[/mm] auf Dauer nur verlieren kann, also gar nichts setzen sollte (darum sollte man nicht Roulette spielen).
Bei einem fairen Spiel hingegen, gibt es keine optimale Strategie: Egal wieviel ich setze, der erwartete Gewinn ist immer Null.
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