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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 18:41 Di 20.07.2010 | | Autor: | Sierra |
| Aufgabe | Zu berechnen ist das Spektrum des Operators T: [mm] l^{2}->l^{2} [/mm] mit
[mm] T:(a_{1},a_{2},a_{3},...) \mapsto ((1-1)a_{1}, (1-\bruch{1}{2})a_{2}, (1-\bruch{1}{3})a_{3}, [/mm] ... , [mm] (1-\bruch{1}{n})a_{n})
[/mm]
Außerdem ist noch zu zeigen, dass T nicht kompakt ist |
Hallo,
soweit ich weiß ist das Spektrum eines Operators die Menge aller Eigenwerte des Operators.
Nun weiß ich allerdings gar nicht, wie man diese hier bestimmen kann.. ? Kann man den Operator irgendwie in Matrixform bringen und dann eine Eigenwertgleichung lösen?
Nun sind Operatoren mit endlich dimensionalem Bild sind kompakt, würde das bedeuten, dass es unendlich viele Eigenwerte gibt, da der Operator, laut Aufgabenstellung, nicht kompakt ist?
Da ich ziemlich ahnungslos in diesem Gebiet bin, bin ich über jede Hilfe dankbar...
Gruß
Sierra
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 23:18 Di 20.07.2010 | | Autor: | meili |
Hallo Sierra,
> Zu berechnen ist das Spektrum des Operators T: [mm]l^{2}->l^{2}[/mm]
> mit
> [mm]T:(a_{1},a_{2},a_{3},...) \mapsto ((1-1)a_{1}, (1-\bruch{1}{2})a_{2}, (1-\bruch{1}{3})a_{3},[/mm]
> ... , [mm](1-\bruch{1}{n})a_{n})[/mm]
> Außerdem ist noch zu zeigen, dass T nicht kompakt ist
> Hallo,
>
> soweit ich weiß ist das Spektrum eines Operators die Menge
> aller Eigenwerte des Operators.
Das Spektrum eines Operators kann noch mehr sein als die Menge aller Eigenwerte des Operators.
> Nun weiß ich allerdings gar nicht, wie man diese hier
> bestimmen kann.. ? Kann man den Operator irgendwie in
> Matrixform bringen und dann eine Eigenwertgleichung
> lösen?
Zum besseren Verständnis des Operators T kann man eine Matrix aufstellen. Die Zeilen und Spalten dieser Matrix sind Folgen.
Zur Bestimmung des Spektrums des Operators T, ist der Operator
$T - [mm] \lambda \\ [/mm] id$ zu untersuchen. Siehe auch ![[]](/images/popup.gif) Spektrum eines Operators
>
> Nun sind Operatoren mit endlich dimensionalem Bild sind
> kompakt, würde das bedeuten, dass es unendlich viele
> Eigenwerte gibt, da der Operator, laut Aufgabenstellung,
> nicht kompakt ist?
>
> Da ich ziemlich ahnungslos in diesem Gebiet bin, bin ich
> über jede Hilfe dankbar...
>
> Gruß
> Sierra
Gruß meili
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(Antwort) fertig | | Datum: | 09:13 Mi 21.07.2010 | | Autor: | fred97 |
Ergänzend zu Meili:
Seien [mm] e_1,e_2,e_3, [/mm] ... die Einhetsvektoren in [mm] $l^2$ (e_j [/mm] hat ander j-ten Stelle eine 1 und sonst nur Nullen).
Die Folge [mm] (e_k) [/mm] ist beschränkt. Zeige: die Folge [mm] (Te_k) [/mm] enthält keine konvergente Teilfolge.
Damit ist T nicht kompakt
FRED
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