Operatornormen < Matrizen < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 10:36 Mi 04.06.2014 | | Autor: | AntonK |
| Aufgabe | | http://de.wikipedia.org/wiki/Nat%C3%BCrliche_Matrixnorm |
Hallo Leute,
ich verstehe das Beispiel in Wikipedia nicht ganz. In dem Bild ist ja die grüne Ellipse $A [mm] x,||x||_2=1$ [/mm] angegeben.
Was genau bedeutet das? Kann mit der Notation nichts anfangen.
Und was genau ist der blaue Kreis, also [mm] $||x||_2=||A||_2$? [/mm] Was bedeutet es, wenn Operatornorm einer Matrix und Vektornorm eines Vektors gleich sind?
Hoffe mir kann da jemand helfen, danke schonmal!
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 10:50 Mi 04.06.2014 | | Autor: | fred97 |
A ist doch eine Abbildung: A: [mm] \IR^2 \to \IR^2
[/mm]
Sei [mm] K:=\{x \in \IR^2: ||x||_2=1\} [/mm] . Das ist der rote Kreis.
Die von [mm] ||*||_2 [/mm] induzierte Matrixnorm ist definiert(!) durch
||A||:= max A(K).
A(K) ist die grüne Menge (Ellipse).
Der blaue Kreis ist der Kreis mit dem kleinsten Radius, der die grüne Menge umfasst. Der Blaue Kreis hat den Radius $3 [mm] \frac{\sqrt{2}}{2} [/mm] $
Damit ist ||A||= max A(K) = 3 [mm] \frac{\sqrt{2}}{2}
[/mm]
FRED
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 23:21 Mi 04.06.2014 | | Autor: | AntonK |
Das heißt die grüne Ellipse sind alle Vektoren mit Länge 1, die von A abgebildet werden?
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 05:54 Do 05.06.2014 | | Autor: | meili |
Hallo,
> Das heißt die grüne Ellipse sind alle Vektoren mit Länge
> 1, die von A abgebildet werden?
Vielleicht meinst du das richtige. Dein Satz ist aber etwas misverständlich.
Alle Vektoren mit der Länge 1 werden von A abgebildet. Das Bild ist dann die
grüne Ellipse. Diese Vektoren des Bildes können eine Länge größer oder
kleiner oder gleich 1 haben.
Gruß
meili
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:39 Do 05.06.2014 | | Autor: | AntonK |
Aber liegen immer in der grünen Ellipse?
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 15:59 Do 05.06.2014 | | Autor: | fred97 |
> Aber liegen immer in der grünen Ellipse?
Ja
[mm] \{Ax: x \in K \}= [/mm] grüne Ellipse
FRED
|
|
|
|
