Operatornorm der HR-Adjung.ten < Funktionalanalysis < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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Hallo
ich bin extrem aus der Mathematik raus.
Sei H ein Hilbertraum und [mm] A\in [/mm] L(H). Ich will wissen, wieso für die Hilbertraumadjungierte [mm] A^{\*}\in [/mm] L(H) gilt [mm] :\|A^{\*}\|=\|A\|
[/mm]
[mm] A^{\*} [/mm] ist charakterisiert durch: [mm] \forall x,y\in [/mm] H ist [mm] =
[/mm]
bzw [mm] A^{\*}=\Phi^{-1}A'\Phi [/mm] mit [mm] A':H^{\*}\to [/mm] H* Banachraumadjungierte von A und
[mm] \Phi:H\to H^{\*} [/mm] der antilineare isometrische Isomorphismus aus dem Darstellungssatz von Riesz.
Genauer haperts bei mir an der Gleichung: [mm] \|\Phi^{-1}A'\Phi\|=\|A'\|. [/mm] Ich weiss, dass [mm] \|A'\|=\|A\| [/mm] gilt und irgendwie muss wohl die Isometrie-Eigenschaft ausschlaggebend sein, weshalb die Gleichung gelten soll. Aber ich kann ja nicht sagen zb, dass [mm] \Phi [/mm] Operatornorm 1 hätte, denn wir haben die Operatornorm nur für lineare stetige Abbildungen zwischen normierten Räumen definiert und [mm] \Phi [/mm] ist konjugiert linear.
Ich freue mich über jede Hilfe.
Gruß
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 21:03 Do 02.10.2014 | | Autor: | andyv |
Hallo
Da sowohl [mm] $\Phi$ [/mm] als auch ihre Inverse Isometrien sind, gelten [mm] $\|\Phi^{-1}A'\Phi [/mm] x [mm] \|=\|A'\Phi x\|$ [/mm] und [mm] $\|\Phi [/mm] x [mm] \|=\|x\|$ $\forall [/mm] x [mm] \in [/mm] H$, woras die behauptete Gleichheit der Operatornormen folgt.
Dass die Abbildung $A [mm] \rightarrow [/mm] A'$ eine Isometrie ist, folgt im Übrigen aus dem Satz von Hahn-Banach, genauer aus der Gleichung [mm] $\|x\|=\sup_{x' \in \overline{B_1(0)} \subset H'} \|x'(x)\|$.
[/mm]
Liebe Grüße
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danke für deine Antwort. Achso, leider haperts bei mir dann jetzt an der Gleichung [mm] \|A'\Phi x\|=\|A'x\|. [/mm]
Ich kann ja nicht sagen, dass [mm] \Phi [/mm] x=x, sondern nur [mm] \|\Phi x\|=\|x\|, [/mm] deswegen muss man da noch abschätzen oder?
Also [mm] \|A'\Phi x\|\le \|A'\|\|\Phi x\|=\|A'\|\|x\| [/mm] ( [mm] \Rightarrow \|A'\Phi \|\le \|A'\|) [/mm] .
Und wie geht die andere Abschätzung? Oder wie sieht man die Gleichung genau ein?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 18:04 So 05.10.2014 | | Autor: | andyv |
Da bist du auf dem falschen Weg, [mm] $\|A'x\|=\|A'\Phi x\|$ [/mm] kannst du nicht zeigen.
Da [mm] $\Phi^{-1}$ [/mm] eine Isometrie ist, gilt [mm] $\|A^\*y\|=\|A'\Phi y\| [/mm] \ [mm] \forall [/mm] y [mm] \in [/mm] H$.
Nun bildest du das Supremum über die 1-Sphäre um 0 in H.
Auf der linken Seite steht dann die Operatornorm von [mm] $A^\*$, [/mm] auf der rechten Seite kannst du aber auch das Supremum über alle [mm] $x:=\Phi [/mm] y [mm] \in \partial B_1(0)$ [/mm] laufen lassen, da ja [mm] $\Phi$ [/mm] eine isometrischer Isomorphismus ist und erhälst die Operatornorm von [mm] $A^{'}$.
[/mm]
Liebe Grüße
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(Antwort) fertig | | Datum: | 16:22 So 05.10.2014 | | Autor: | fred97 |
Es ist
[mm] ||A^{\star}y||=\sup_{||x ||=1}||=\sup_{||x ||=1}|| \le \sup_{||x ||=1}||Ax||*||y||=||A||*||y||.
[/mm]
(das [mm] \le [/mm] folgt aus Cauchy-Schwarz).
Wir haben also:
(*) [mm] $||A^{\star}|| \le [/mm] ||A||$
Benutze nun [mm] A^{\star \star}=A [/mm] und (*), um
[mm] $||A^{\star}|| \ge [/mm] ||A||$
zu erhalten.
FRED
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 16:24 So 05.10.2014 | | Autor: | DieAcht |
Freddy, Fred, Fred Feuerstein, willkommen zurück aus dem Urlaub(?). 
Viele Grüße
DieAcht
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 16:27 So 05.10.2014 | | Autor: | fred97 |
> Freddy, Fred, Fred Feuerstein, willkommen zurück aus dem
> Urlaub(?).
Hallo Acht,
danke für die Begrüßung ! Ja, gestern kam ich aus Andalusien zurück.
Cadiz, Sevilla, Jerez, Ronda, ..... einfach toll !
Gruß FRED
>
> Viele Grüße
> DieAcht
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