Operatornorm berechnen < Funktionalanalysis < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 19:47 Mi 15.07.2015 | | Autor: | Laura22 |
| Aufgabe | Zeigen Sie, dass der Operator
[mm] A:l^2 \to l^2
[/mm]
[mm] (x_n)_{n \in \IN} \mapsto (x_n/n)_{n \in \IN}
[/mm]
beschränkt ist und berechnen Sie weiter seine Operatornorm.
Anmerkung: [mm] l^2 [/mm] sei der Raum der quadratsummierbaren Folgen in [mm] \IC. [/mm] |
Hi :),
bei der obigen Aufgabe habe ich Probleme eine untere Schranke für die Operatornorm zu finden. Ich kann ja zunächst einmal schreiben, was ich glaube schon herausgefunden zu haben:
Beschränktheit: Sei x [mm] \in l^2 [/mm] beliebig. Dann gilt
[mm] \|Ax\|_{2}^2= \|(x_n/n)_{n \in \IN}\|_{2}^2 [/mm] = [mm] \summe_{k=1}^{\infty} \bruch{|x_k|}{|k|} \leq (\summe_{k=1}^{\infty} |x_k|^2) \cdot (\summe_{k=1}^{\infty} k^{-4}) [/mm] (nach Cauchy-Schwarz)
[mm] \leq [/mm] C [mm] \cdot \|x\|_{2}^2, [/mm] da die Reihe [mm] (\summe_{k=1}^{\infty} k^{-4}) [/mm] konvergiert.
Durch die Beschränktheit bekommen wir dann automatisch auch eine obere Schranke für die Operatornorm. Diese lautet
[mm] \|A\| \leq (\summe_{k=1}^{\infty} |k^{-4}|)^{\bruch{1}{2}} [/mm]
Wie man nun eine obere Schranke findet, weiß ich nicht...habt ihr vielleicht eine Idee? ich bedanke mich im Voraus!!!
Viele Grüße,
Laura
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 20:44 Mi 15.07.2015 | | Autor: | fred97 |
> Zeigen Sie, dass der Operator
>
> [mm]A:l^2 \to l^2[/mm]
> [mm](x_n)_{n \in \IN} \mapsto (x_n/n)_{n \in \IN}[/mm]
>
> beschränkt ist und berechnen Sie weiter seine
> Operatornorm.
>
> Anmerkung: [mm]l^2[/mm] sei der Raum der quadratsummierbaren Folgen
> in [mm]\IC.[/mm]
>
>
> Hi :),
>
> bei der obigen Aufgabe habe ich Probleme eine untere
> Schranke für die Operatornorm zu finden. Ich kann ja
> zunächst einmal schreiben, was ich glaube schon
> herausgefunden zu haben:
>
> Beschränktheit: Sei x [mm]\in l^2[/mm] beliebig. Dann gilt
> [mm]\|Ax\|_{2}^2= \|(x_n/n)_{n \in \IN}\|_{2}^2[/mm] =
> [mm]\summe_{k=1}^{\infty} \bruch{|x_k|}{|k|} \leq (\summe_{k=1}^{\infty} |x_k|^2) \cdot (\summe_{k=1}^{\infty} k^{-4})[/mm]
> (nach Cauchy-Schwarz)
Schon das erste "=" oben ist falsch. Es ist
[mm] ||Ax||_2^2=\summe_{k=1}^{\infty} \bruch{|x_k|^2}{k^2}
[/mm]
Eine weitere Abschätzung mit Cauchy - Schwarz bringt nichts ! (Warum ?)
> [mm]\leq[/mm] C [mm]\cdot \|x\|_{2}^2,[/mm] da die Reihe
> [mm](\summe_{k=1}^{\infty} k^{-4})[/mm] konvergiert.
>
> Durch die Beschränktheit bekommen wir dann automatisch
> auch eine obere Schranke für die Operatornorm. Diese
> lautet
>
> [mm]\|A\| \leq (\summe_{k=1}^{\infty} |k^{-4}|)^{\bruch{1}{2}}[/mm]
>
> Wie man nun eine obere Schranke findet, weiß ich
> nicht...habt ihr vielleicht eine Idee? ich bedanke mich im
> Voraus!!!
Also
[mm] ||Ax||_2^2=\summe_{k=1}^{\infty} \bruch{|x_k|^2}{k^2} \le \summe_{k=1}^{\infty}|x_k|^2 [/mm] = [mm] ||x||_2^2.
[/mm]
Somit:
[mm] ||Ax||_2 \le ||x||_2.
[/mm]
Es folgt: $||A|| [mm] \le [/mm] 1$
Nun finde ein $x [mm] \in l^2$ [/mm] mit [mm] ||Ax||_2 [/mm] = [mm] ||x||_2.
[/mm]
Dann ist ||A||=1.
FRED
>
> Viele Grüße,
> Laura
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 10:22 Do 16.07.2015 | | Autor: | Laura22 |
Ahhh, du hast Recht! Für die untere Schranke könnte ich dann doch einfach den ersten kanonischen Einheitsvektor im [mm] l^2 [/mm] hernehmen, oder? Mit diesem folgt
[mm] \|Ax\|_{2} [/mm] = [mm] |x_1| [/mm] = [mm] \|x\|_{2}.
[/mm]
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(Antwort) fertig | | Datum: | 10:35 Do 16.07.2015 | | Autor: | fred97 |
> Ahhh, du hast Recht! Für die untere Schranke könnte ich
> dann doch einfach den ersten kanonischen Einheitsvektor im
> [mm]l^2[/mm] hernehmen, oder? Mit diesem folgt
> [mm]\|Ax\|_{2}[/mm] = [mm]|x_1|[/mm] = [mm]\|x\|_{2}.[/mm]
Mit x meinst Du hoffentlich x=(1,0,0,0,...), also [mm] x_1=1 [/mm] und [mm] x_n=0 [/mm] für n>1.
Wenn Du es so meinst, dann stimmts.
FRED
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 10:35 Do 16.07.2015 | | Autor: | Laura22 |
[mm] x_1 [/mm] ist hier natürlich 1... aber der gewählte [mm] l^2-Vektor [/mm] müsste nat. trotzdem gehen. Im übrigen vielen Dank für die Hilfe!!!
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