Operatornorm < Sonstiges < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 15:59 Fr 22.06.2007 | | Autor: | Engel205 |
Seien [mm] (E_{1}, \parallel [/mm] * [mm] \parallel_{E_{1}}) [/mm] und [mm] E_{2}, \parallel [/mm] * [mm] \parallel_{E_{2}}) [/mm] normierte Vektorräume.
Zeige: Ist [mm] (E_{2}, \parallel [/mm] * [mm] \parallel_{E_{2}}) [/mm] ein Banachraum, so ist auch der Vektorraum [mm] L(E_{1},E_{2}) [/mm] der stetigen linearen Abbildungen von [mm] E_{1} [/mm] nach [mm] E_{2} [/mm] zusammen mit der Operatornorm definiert durch
[mm] \parallel [/mm] T [mm] \parallel_{op} [/mm] = [mm] sup_{\parallel x \parallel_{E_{1} \le 1}} \parallel [/mm] T(x) [mm] \parallel_{E_{2}} [/mm] ein Banachraum.
Oh je das ist ne blöde Aufgabe finde ich, oder ich komm da einfach nicht hinter... :-(
Ich bitte dringenst um liebe nette Hilfe.
Danke schonmal!
|
|
| |
|
> Seien [mm](E_{1}, \parallel[/mm] * [mm]\parallel_{E_{1}})[/mm] und [mm]E_{2}, \parallel[/mm]
> * [mm]\parallel_{E_{2}})[/mm] normierte Vektorräume.
>
> Zeige: Ist [mm](E_{2}, \parallel[/mm] * [mm]\parallel_{E_{2}})[/mm] ein
> Banachraum, so ist auch der Vektorraum [mm]L(E_{1},E_{2})[/mm] der
> stetigen linearen Abbildungen von [mm]E_{1}[/mm] nach [mm]E_{2}[/mm] zusammen
> mit der Operatornorm definiert durch
> [mm]\parallel[/mm] T [mm]\parallel_{op}[/mm] = [mm]sup_{\parallel x \parallel_{E_{1} \le 1}} \parallel[/mm]
> T(x) [mm]\parallel_{E_{2}}[/mm] ein Banachraum.
>
> Oh je das ist ne blöde Aufgabe finde ich, oder ich komm da
> einfach nicht hinter... :-(
>
> Ich bitte dringenst um liebe nette Hilfe.
Du könntest Dich ja schon mal warmlaufen, indem Du mit den einfache Dingen anfängst:
1. Ob Du nachweisen musst, dass die stetigen linearen Funktionen [mm]E_1\rightarrow E_2[/mm] einen Vektorraum bilden weiss ich nicht: vermutlich nicht - dies wäre auch nur eine Fingerübung.
2. Dann musst Du zeigen, dass die vorgeschlagene Norm für diesen Vektorraum [mm]\mathcal{L}(E_1,E_2)[/mm] tatsächlich die Eigenschaften einer Vektorraumnorm hat: ist vielleicht auch nicht ernsthaft gefragt, weil leicht zu zeigen.
3. Schliesslich musst Du zeigen, dass jede Cauchyfolge [mm](T_n)_{n \in \IN}[/mm] aus [mm]\mathcal{L}(E_1,E_2)[/mm] gegen eine Funktion [mm]T\in \mathcal{L}(E_1,E_2)[/mm] konvergiert. Du musst also zeigen, dass es eine Funktion mit [mm]\lim_{n\rightarrow \infty}T_n = T[/mm] (bezüglich der Norm [mm]\parallel \;\;\parallel_{\text{Op}}[/mm], d.h. mit [mm]\lim_{n\rightarrow \infty}\parallel T-T_n\parallel_{\text{Op}} = 0[/mm]) gibt und dass sie sowohl linear als auch stetig ist.
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:23 Fr 22.06.2007 | | Autor: | Engel205 |
ok also zeiige ich erstmal, dass es sich wirklich um eine Norm handelt, indem ich die Eigenschaften einer Norm nachrechnen und dann zeige ich das, was unter 3) steht und ich bin fertig oder?
Super das hilft mir sehr.
Danke schön!
|
|
|
| |
|
> ok also zeiige ich erstmal, dass es sich wirklich um eine
> Norm handelt, indem ich die Eigenschaften einer Norm
> nachrechnen und dann zeige ich das, was unter 3) steht und
> ich bin fertig oder?
> Super das hilft mir sehr.
> Danke schön!
Keine Ursache: Ich habe ja eigentlich nichts allzu wesentliches beigetragen. Was die Frage der Stetigkeit des Grenzwertes (der Grenzfunktion) [mm]T[/mm] betrifft: Konvergenz linearer Funktionen bezüglich der [mm]\parallel \;\;\parallel_{\text{Op}}[/mm]-Norm ist ja im Grunde ein Fall von gleichmässiger Konvergenz einer Folge von Funktionen, was die Stetigkeit der Grenzfunktion liefern sollte (für Linearität der Grenzfunktion, andererseits, würde schon punktweise Konvergenz genügen).
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:46 So 24.06.2007 | | Autor: | Engel205 |
Also zeige ich dann jetzt gleichmäßige oder punktweise stetigkeit?
|
|
|
| |
|
> Also zeige ich dann jetzt gleichmäßige oder punktweise
> stetigkeit?
Du musst doch zeigen, dass
1. die Grenzfunktion existiert,
2. linear und
3. stetig ist
Weil die Grenzfunktion ja in [mm]\mathcal{L}(E_1,E_2)[/mm] liegen muss, damit dieser normierte Raum als vollständig nachgewiesen werden kann.
Konvergenz musst Du in der eingeführten "Operatornorm" zeigen. Wenn eine Folge [mm]T_n[/mm] aus [mm]\mathcal{L}(E_1,E_2)[/mm] in der [mm]\parallel\;\;\parallel_{\text{Op}}[/mm]-Norm konvergiert, konvergiert sie selbstverständlich auch punktweise (weshalb?). Diese, jedenfalls im Sinne punktweiser Konvergenz existierende Grenzfunktion [mm]T:E_1\rightarrow E_2[/mm] musst Du dann also noch als sogar in [mm]\mathcal{L}(E_1,E_2)[/mm] liegend nachweisen.
Meine Bemerkung zum Schluss von "gleichmässiger Konvergenz" einer Folge stetiger Funktionen auf die Stetigkeit der Grenzfunktion war nur als Tipp gemeint. (Vermutlich hast Du diesen Beweis schon mal gesehen.) Wenn Du es ausdrücklich verlangst, führe ich diesen Beweis hier im Detail vor. Man beginnt einfach wie üblich: Sei also [mm](T_n)_{n\in \IN}[/mm] eine Cauchy-Folge aus [mm]\mathcal{L}(E_1,E_2)[/mm] mit punktweisem Limes [mm]T:E_1\rightarrow E_2[/mm] und [mm]\varepsilon > 0[/mm] gegeben. ... blah, blah, ...
Nebenbei bemerkt: dass jener punkweise Limes [mm]T:E_1\rightarrow E_2[/mm] existiert, kannst Du beweisen, indem Du verwendest, dass eine Cauchy-Folge [mm]T_n[/mm] bezüglich der [mm]\parallel\;\;\parallel_{\text{Op}}[/mm]-Norm uns für alle [mm]x\in E_1[/mm] eine Cauchy-Folge [mm](T_n(x))_{n\in \IN}[/mm] von [mm]E_2[/mm] liefert. Definiere also [mm]T: E_1\ni x\mapsto \lim_{n\rightarrow \infty}T_n(x)\in E_2[/mm]
|
|
|
|
