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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 16:00 Do 31.03.2016 | | Autor: | moerni |
Hallo,
Gegeben sei ein Hilbertraum V und ein Teilraum [mm] V^R \subset [/mm] V. Es seien [mm] u_1, u_2 \in [/mm] V. Es sei [mm] P^R [/mm] die orthogonale Projektion auf [mm] V^R [/mm] und I die Identität auf V. Dann gilt scheinbar:
|| [mm] (I-P^R) (u_1 [/mm] - [mm] u_2)||_V \leq ||u_1 [/mm] - [mm] u_2||_V
[/mm]
Warum?
Ich würde so rechnen:
|| [mm] (I-P^R) (u_1 [/mm] - [mm] u_2)||_V \leq ||I-P^R||_{op} ||u_1 [/mm] - [mm] u_2||_V
[/mm]
wobei die Operatornorm [mm] ||I-P^R||_{op} [/mm] = [mm] sup_{||x||_V = 1} ||(I-P^R)x||_V [/mm] ist.
Es ist [mm] ||I-P^R||_{op} \leq ||I||_{op} [/mm] + [mm] ||P^R||_{op} [/mm] = 1 + 1.
Ich würde also in der Abschätzung einen Faktor 2 bekommen. Wo ist mein Fehler?
Ich bin sehr dankbar über jede Hilfe.
LG
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 17:13 Do 31.03.2016 | | Autor: | fred97 |
> Hallo,
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> Gegeben sei ein Hilbertraum V und ein Teilraum [mm]V^R \subset[/mm]
> V. Es seien [mm]u_1, u_2 \in[/mm] V. Es sei [mm]P^R[/mm] die orthogonale
> Projektion auf [mm]V^R[/mm] und I die Identität auf V. Dann gilt
> scheinbar:
>
> || [mm](I-P^R) (u_1[/mm] - [mm]u_2)||_V \leq ||u_1[/mm] - [mm]u_2||_V[/mm]
>
> Warum?
> Ich würde so rechnen:
>
>
> || [mm](I-P^R) (u_1[/mm] - [mm]u_2)||_V \leq ||I-P^R||_{op} ||u_1[/mm] -
> [mm]u_2||_V[/mm]
>
> wobei die Operatornorm [mm]||I-P^R||_{op}[/mm] = [mm]sup_{||x||_V = 1} ||(I-P^R)x||_V[/mm]
> ist.
> Es ist [mm]||I-P^R||_{op} \leq ||I||_{op}[/mm] + [mm]||P^R||_{op}[/mm] = 1 +
> 1.
> Ich würde also in der Abschätzung einen Faktor 2
> bekommen. Wo ist mein Fehler?
Du hast keinen Fehler gemacht. Du bist mit der obigen Abschätzung nur übers Ziel hinausgeschossen !
Eine orthogonale Projektion [mm] \ne [/mm] 0 hat die Norm 1, das hast Du benutzt.
Beachte nun, dass [mm] I-P^R [/mm] ebenfalls eine orthogonale Projektion ist. Sie projiziert auf das orthogonale Komplement von [mm] V^R.
[/mm]
fred
>
> Ich bin sehr dankbar über jede Hilfe.
> LG
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 17:23 Do 31.03.2016 | | Autor: | moerni |
Wunderbar, Danke  !
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