Operatoren mit [A,B]=c < Abbildungen < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 15:27 So 13.03.2016 | | Autor: | hippias |
Hallo Forum,
ich habe ein Problem mit Kommutatoren von linearen Operatoren. In der Quantenmechanik ist die Gleichung [mm] $[\hat{x},\hat{p}]= i\hbar$ [/mm] grundlegend, wobei [mm] $\hat{x}$ [/mm] der sogenannte Ortsoperator, [mm] $\hat{p}$ [/mm] der Impulsoperator und [mm] $\hbar$ [/mm] das Planck'sche Wirkungsquantum ist. Die Operatoren sind hermitesch auf einem Hilbertraum.
Ich habe mich gefragt, ob irgendwelche allgemeinen Aussagen über lineare Operatoren $A$ und $B$ eines Raumes über [mm] $\IC$ [/mm] mit Skalarprodukt [mm] $\langle.,.\rangle$ [/mm] gemacht werden können, für die $[A,B]:= AB-BA= c$ mit [mm] $0\neq c\in \IC$ [/mm] gilt. Wie in der QM üblich sei das Skalarprodukt sesquilinear in der ersten Komponente.
Zuerst ist mir aufgefallen, dass der Raum unendlichdimensional ist, da die Spur eines Kommutators stets $=0$ ist. Das ist kein Problem.
Nun sei $A= [mm] A^{\star}$ [/mm] als hermitesch vorausgesetzt und sei $v$ ein Vektor und [mm] $\lambda\in \IR$ [/mm] so, dass [mm] $Av=\lambda [/mm] v$ gilt.
Ich rechne [mm] $\lambda\langle v,Bv\rangle= \langle\lambda v,Bv\rangle= \langle [/mm] A [mm] v,Bv\rangle= \langle v,ABv\rangle$. [/mm] Aus $[A,B]=c$ folgt $AB= c+ BA$, sodass [mm] $\lambda\langle v,Bv\rangle= c\langle v,v\rangle+ \langle [/mm] v,BA [mm] v\rangle= c\langle v,v\rangle+ \lambda \langle [/mm] v,B [mm] v\rangle$.
[/mm]
Also ist [mm] $c||v||^{2}=0$ [/mm] und wegen [mm] $c\neq [/mm] 0$ folgt $v=0$. Habe ich damit gezeigt, dass $A$ keinen Eigenvektor besitzt?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 15:58 So 13.03.2016 | | Autor: | fred97 |
Hallo Hippies,
google: Satz von Wintner und Wielandt.
Gruß fred
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:38 So 13.03.2016 | | Autor: | hippias |
Ich danke Dir für den Hinweis auf diesen Satz: das scheint genau das zu sein, um was es mir geht! Aber nocheinmal der Vollständigkeit halber: $A$ hat dann doch keinen Eigenvektor, oder?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 08:40 Mo 14.03.2016 | | Autor: | fred97 |
> Ich danke Dir für den Hinweis auf diesen Satz: das scheint
> genau das zu sein, um was es mir geht! Aber nocheinmal der
> Vollständigkeit halber: [mm]A[/mm] hat dann doch keinen
> Eigenvektor, oder?
Ja
FRED
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