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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 15:15 Di 07.02.2006 | | Autor: | annakwag |
HALLO - HILFE!!! ;)
Wir muessen eine Aufgabe mit induzierten MAtrixnormen lösen und wissen nicht weiter!
Wir sollen da die Matrixnorm-Eigenschaften einer induzierten Norm nachweisen und wissen nicht wann wir fertig sind, oder ob das ueberhaupt so geht:
Also, die zu betrachtende Operatornorm ist
||A|| = [mm] max_{x \not= 0} [/mm] (||Ax|| / ||x||)
Wir haben uns das so gedacht gehab:
zz: (a) ||A|| > 0 , ||A|| = 0 [mm] \gdw [/mm] A=0
(b) || [mm] \lambda [/mm] A|| = | [mm] \lambda| [/mm] ||A||
(c) ||A+B|| [mm] \le [/mm] ||A|| + ||B||
Beweis:
(a) Da haben wir so angefangen:
||A|| = [mm] max_{x \not= 0} [/mm] (||Ax|| / ||x||)
= [mm] max_{||x|| = 1} [/mm] (||Ax||)
[mm] \ge [/mm] ||Ax||
> 0
kann man das so machen? wir sind uns absolut nicht sicher!
(b) [mm] ||\lambda [/mm] A|| = [mm] max_{x \not= 0} (||\lambda [/mm] Ax|| / ||x||)
= [mm] max_{||x|| = 1} (||\lambda [/mm] Ax||)
= [mm] max_{||x|| = 1} (|\lambda| [/mm] ||Ax||)
= [mm] |\lambda| max_{||x||=1} [/mm] (||Ax||)
= [mm] |\lambda| max_{ x \not= 0} [/mm] (||Ax|| / ||x||)
= [mm] |\lambda| [/mm] ||A||
auch hier wissen wir nicht ob das alles so bewiesen ist....
den Beweis von (c) haben wir irgendwo gefunden.
Wer kann uns helfen??? Wir sind Dir jetzt schon so unendlich dankbar.
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
annakwag
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Hallo und guten Morgen,
los geht's:
Zur (a): Es sollte doch sicherlich heissen: [mm] \parallel A\parallel \geq [/mm] 0
mit Gleichheit gdw A=0, oder ?
Aus der Eigenschaft der zugrundeliegenden Vektornorm, nicht-negativ zu sein, bekommt Ihr ja dasselbe fuer die Matrix-Norm (das steht grob bei Dir zu (a), allerdings formal nicht ganz korrekt: Du kannst nicht einfach das Maximum weglassen und dann weiterrechnen,
als ob ''nichts gewesen waere''. Man koennt's so schreiben:
[mm] \parallel A\parallel =\max_{\parallel x\parallel =1}\parallel Ax\parallel\:\:\geq [/mm] 0
da die Vektornorm [mm] \geq [/mm] 0 ist.
Zu zeigen dann noch: Gleichheit genau fuer die Null-Matrix.
Dass fuer die 0-Matrix die Matrixnorm = 0 ist, folgt wieder direkt aus der definition und
der Normeigenschaft der Vektornorm: Sei N die Matrix mit allen Eintraegen gleich 0,
dann
[mm] \parallel N\parallel =\ldots\ =\max_{\parallel x\parallel =1}\parallel N\cdot x\parallel
[/mm]
[mm] =\max_{\parallel x\parallel =1}\parallel n\parallel [/mm] =0,
wobei n der 0-Vektor sei, die letzte Gleichheit wie geschrieben aus der Normeigenschaft der Vektornorm.
Zu zeigen: Falls [mm] \parallel A\parallel [/mm] =0, so folgt A=N.
Aber fuer [mm] A\neq [/mm] N gibt es [mm] x\neq [/mm] n mit [mm] Ax\neq [/mm] n (warum ?), damit ist das also auch bewiesen.
Die (b) ist ok, schreibt sicherheitshalber an jede Umformung dran, warum man die machen kann, d.h. welche Eigenschaft der Vektornorm gerade benutzt wird.
Da Ihr (c) schon habt:
Viele Gruesse,
Mathias
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