Operation v.Gruppen auf Mengen < Algebra < Algebra+Zahlentheo. < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | Sei G eine endliche Gruppe, die auf der Menge X transitiv operiert, und x [mm] \in [/mm] X ein fixiertes Element von X. Sei weiter Gx={g [mm] \in [/mm] G| gx=x} die Isotropiegruppe von x [mm] \in [/mm] X und H Untergruppe von Gx. Bezeichne [mm] N_{G}(H) [/mm] := {g [mm] \in [/mm] G | [mm] gHg^{-1} [/mm] = H} den Normalisator von H in G.
Zu zeigen:
i) [mm] N_{G}(H) [/mm] operiert auf der Menge FixH:={y [mm] \in [/mm] X| gy=y für alle g [mm] \in [/mm] H}.
ii) Diese Operation ist transitiv, wenn H eine p-Sylowuntergruppe von Gx ist. |
Hallo,
ich habe versucht, bei der Aufgabe erstmal durchzublicken, komme aber da irgendwie auf keinen grünen Zweig.
Bei der i) muss ich doch einfach nur die Definition einer "Operation" anwenden, d.h. [mm] \forall [/mm] y [mm] \in [/mm] FixH [mm] \forall [/mm] (s,t) [mm] \in N_{G}(H)^{2} [/mm] ist: s(ty)=(st)y und ey=y
Weiter gilt doch wegen s,t [mm] \in N_{G}(H): sHs^{-1} [/mm] = H und analog für t.
Ich habe jetzt mit der linken Seite angefangen:
s(ty) = s(tgy) weil y in FixH liegt. Weiter komme ich nicht.
Zur ii) Muss ich hier die Definition von transitiv anwenden, also dass [mm] \forall [/mm] (a,b) [mm] \in FixH^{2} [/mm] gibt es ein g [mm] \in N_{G}(H), [/mm] sodass gilt: ga=b?
Wie muss hier vorgehen?
Hoffentlich kann mir da jemand weiterhelfen.
Danke!
Milka
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 11:14 Sa 19.05.2007 | | Autor: | Milka_Kuh |
Hallo Forum,
ich komm bei der Aufgabe nicht weiter. Kann mir bitte jemand einen Tipp geben oder erklären, wie ich bei der Aufgabe vorgehen muss?
Meine Lösungsversuche stehen im ersten Posting. Bin ich auf dem richtigen Weg?
Ich bin für jede Hilfe sehr dankbar!
LG, Milka
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 21:20 Mi 23.05.2007 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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