Offenheit, Kompaktheit, Abgesc < Sonstiges < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | Über prüfen sie die folgende Menge M auf offenheit, abgeschloßenheit und kompaktheit (alle antw. bitte begründen):
a) M = { x [mm] \in \IR: \pi^{sinx} [/mm] < [mm] \pi [/mm] }
b) M = { [mm] \wurzel[k]{k}: [/mm] k [mm] \in \IN} \cup [/mm] {1}
c) M = { z [mm] \in \IC: [/mm] 1 </= [mm] |e^z| [/mm] </= 2}. |
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
Ich habe folgendes Problem: Wir haben offenheit, abgeschl. und kompaktheit besprochen nur nicht auf solche beispiele bezogen.
kann folgern, dass a) nur inhalt enthält, nicht den rand. außerdem abgeschloßen.
habt ihr ähnliche beispiele oder konkrete lösungen zu diesen beispielen?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 21:12 Sa 06.12.2008 | | Autor: | pelzig |
> a) $M = [mm] \{ x \in \IR: \pi^{\sin x}< \pi\}$
[/mm]
[mm] $M=\sin^{-1}\left((-\infty,1)\right)$ [/mm] ist das Urbild einer offenen Menge unter einer stetigen Abbildung und daher...
> b) $M = [mm] \{ \wurzel[k]{k}: k \in \IN\} \cup \{1\}$
[/mm]
Die Folge [mm] $(\sqrt[k]{k})_{k\in\IN}$ [/mm] besitzt nur den Häufungspunkt 1. Also ist [mm] $M=\overline{M}$, [/mm] d.h. M abgeschlossen. Kompaktheit?
> c) $M = [mm] \{ z \in \IC: 1\le |e^z|\le 2\}$
[/mm]
Wie in a), die Abbildung [mm] $\varphi:\IC\ni z\mapsto |e^z|\in\IR$ [/mm] ist stetig, und [mm] $M=\varphi^{-1}([1,2])$.
[/mm]
Gruß, Robert
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 23:16 Sa 06.12.2008 | | Autor: | erisve |
reicht es bei 1) auch einfach zu sagen, dass ja alle x enthalten sind außer einzelne Punkte (PI/2+2PI*k) [mm] ,K\in\IN
[/mm]
die punkte sind abgeschlossen ,also ist [mm] \IR\backslashdiese [/mm] Punkte=M offen,
oder sollte man mit der urlbildmenge argumentieren, dass verstehe ich nämlich noch nicht so ganz..
die 2) wär ja nicht beschränkt oder?
ja und c ist ja wieder mit so ner urbildmenge
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(Antwort) fertig | | Datum: | 23:43 Sa 06.12.2008 | | Autor: | pelzig |
> reicht es bei 1) auch einfach zu sagen, dass ja alle x
> enthalten sind außer einzelne Punkte (PI/2+2PI*k) [mm],K\in\IN[/mm]
> die punkte sind abgeschlossen ,also ist [mm]\IR\backslashdiese[/mm]
> Punkte=M offen
Ja das geht auch.
> oder sollte man mit der urlbildmenge argumentieren, dass
> verstehe ich nämlich noch nicht so ganz..
Es geht beides.
> die 2) wär ja nicht beschränkt oder?
Jede konvergente Folge ist beschränkt...
Gruß, Robert
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