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| Aufgabe | | Sei [mm] I\subset \IR [/mm] ein offenes Intervall. Zeigen Sie, dass eine Funktion [mm] f:I->\IR [/mm] genau dann stetig ist, wenn für jede offene Teilmenge m [mm] \subset \IR [/mm] auch die Menge [mm] f^{-1}(M) [/mm] offen ist. |
Ich denke ich brauche nur einen Tipp für den Ansatz, damit ich die Aufgabe gelöst bekomme. Danke im voraus
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Kann ich die Aufgabe über folgenden Ansatz lösen?
Sind I ein Intervall in [mm] \mathbb{R} [/mm] und [mm] f\colon I\rightarrow\mathbb [/mm] R eine stetige, streng monoton wachsende oder streng monoton fallende Funktion, dann ist das Bild von f ein Intervall J, [mm] f\colon I\to [/mm] J ist bijektiv, und die Umkehrfunktion [mm] f^{-1}\colon J\to [/mm] I ist stetig. Somit ist f ein Homöomorphismus von I nach J.
Dies gilt wie angegeben nur für Funktionen, die im gesamten Intervall stetig sind. Ist f eine umkehrbare und an der Stelle x0 stetige Funktion, so ist die Umkehrfunktion f − 1 an der Stelle f(x0) im Allgemeinen nicht stetig.
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> Kann ich die Aufgabe über folgenden Ansatz lösen?
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> Sind I ein Intervall in [mm]\mathbb{R}[/mm] und [mm]f\colon I\rightarrow\mathbb[/mm]
> R eine stetige, streng monoton
Hallo,
in Deiner Aufgabe ist doch nicht von einer monotonen Funktion die Rede und auch nicht von einer Umkehrfunktion, sondern von den Urbildern offener Mengen.
Gruß v. Angela
wachsende oder streng
> monoton fallende Funktion, dann ist das Bild von f ein
> Intervall J, [mm]f\colon I\to[/mm] J ist bijektiv, und die
> Umkehrfunktion [mm]f^{-1}\colon J\to[/mm] I ist stetig. Somit ist f
> ein Homöomorphismus von I nach J.
>
> Dies gilt wie angegeben nur für Funktionen, die im gesamten
> Intervall stetig sind. Ist f eine umkehrbare und an der
> Stelle x0 stetige Funktion, so ist die Umkehrfunktion f
> − 1 an der Stelle f(x0) im Allgemeinen nicht stetig.
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ja das stimmt aber ich finde sonst leider keinen Ansatz, hast du eine Idee wie ich das angehen kann?
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 11:35 Mo 08.12.2008 | | Autor: | SEcki |
> Ich denke ich brauche nur einen Tipp für den Ansatz, damit
> ich die Aufgabe gelöst bekomme. Danke im voraus
Welche Definition von Stetigkeit hattet ihr denn genau? Bei dem Epsilon-Delta-Kriterium betrachte man betsen mal [m]f^{-1}(B_\epsilon(f(x_0)))[/m]. Da das Urbild offen ist folgt dann was? Für die andere Richtung: offene Mengen sind Vereinigung von Bällen.
SEcki
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| Status: |
(Frage) reagiert/warte auf Reaktion  | | Datum: | 20:51 Mo 08.12.2008 | | Autor: | Heureka89 |
| Aufgabe | | Sei I [mm] \subset \IR [/mm] ein offenes Intervall. Zeigen Sie, dass eine Funktion f: I [mm] \to \IR [/mm] genau dann stetig ist, wenn für jede offene Teilmenge M [mm] \subset \IR [/mm] auch die Menge f^-1(M) offen ist. |
Hallo,
also hier sind ja zwei Richtungen zu beweisen.
Ich tue mich leider mit Beweisen noch schwer und weiß nicht wie ich anfangen soll. Ein kleiner Tipp wäre hilfreich.
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