Offenes Intervall < Mengenlehre < Logik+Mengenlehre < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 12:15 Mi 03.10.2007 | | Autor: | elefanti |
| Aufgabe | Zeige, dass für die offenen Intervalle [mm] I_n [/mm] = (0, 1/n) gilt:
[mm] \bigcap_{i=1}^{\infty}I_n [/mm] = [mm] \emptyset [/mm] |
Hallo ihr,
ich möchte obiges per Induktion zeigen.
Die Induktion an sich ist kein Problem, aber die offenen Intervalle sind für mich der Zeit leider ein Problem. Offenens Intervall bedeutet doch, dass ich alle Elemente die zwischen deren beiden Intervallgrenzen liegen betrachte, also hier zwischen 0 und 1/n.
So, wie zeige ich denn per Induktion, dass der Durchschnitt der Elemente zwischen den Grenzen die leere Menge ergibt?
Ich habe:
IA: n=1
[mm] \bigcap_{i=1}^{n}(0, [/mm] 1/n) = 0 [mm] \cap [/mm] 1/1 = 0 [mm] \cap [/mm] 1 = [mm] \emptyset
[/mm]
IV: Es gelte für ein beliebiges [mm] n\in \IN:
[/mm]
[mm] \bigcap_{i=1}^{n}I_n [/mm] = [mm] \emptyset
[/mm]
IS: [mm] \bigcap_{i=1}^{n+1}(0, [/mm] 1/n) = [mm] \bigcap_{i=1}^{n}(0, [/mm] 1/n) [mm] \cap [/mm] 1/(n+1) = [mm] \emptyset \cap [/mm] 1/(n+1) = [mm] \emptyset
[/mm]
Liebe Grüße
Elefanti
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 13:21 Mi 03.10.2007 | | Autor: | rainerS |
Hallo elefanti,
> Zeige, dass für die offenen Intervalle [mm]I_n[/mm] = (0, 1/n) gilt:
> [mm]\bigcap_{i=1}^{n}I_n[ = \emptyset[/mm]
So, wie du sie hingeschrieben hast, ist die Behauptung falsch, denn die bildest den Durchschnitt von lauter gleichen offenen Intervallen [mm](0, 1/n) [/mm].
Meinst du
[mm] \bigcap_{n=1}^{\infty} I_n = \emptyset[/mm]
In diesem Fall kannst du durch Induktion zeigen, dass
[mm] \bigcap_{n=1}^{m} I_n = I_m [/mm]
und dir dann überlegen, was für [mm]m\rightarrow\infty[/mm] passiert.
Viele Grüße
Rainer
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(Antwort) fertig | | Datum: | 13:31 Mi 03.10.2007 | | Autor: | koepper |
Hallo elefanti,
überlege: Mit vollständiger Induktion zeigst du, daß eine Behauptung für alle natürlichen Zahlen gilt.
Die Behauptung ist in diesem Fall aber gar keine Aussage, die für alle natürlichen Zahlen gelten soll. Vollst. Ind. ist hier also nicht angebracht.
Stattdessen sollst du hier zeigen, daß eine Menge leer ist.
Das geht so:
1. Zeige, daß der Durchschnitt all dieser Intervalle eine Teilmenge von [mm] $\IR$ [/mm] ist.
2. Gib dir dann ein beliebiges Element von [mm] $\IR$ [/mm] vor und zeige, daß dieses Element nicht in dem angegebenen Durchschnitt enthalten ist.
Dazu mußt du zu gegebenem $r [mm] \in \IR$ [/mm] einfach ein m angeben, so daß r nicht in [mm] $I_m$ [/mm] liegt.
Versuch es mal.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:54 Mi 03.10.2007 | | Autor: | elefanti |
Hallo,
ihr habt recht, ich meine [mm] \bigcap_{i=1}^{\infty}I_n!
[/mm]
Es ist (0,1) [mm] \cap [/mm] (0,1/2) = (0,1/2) und
(0,1/2) [mm] \cap [/mm] (0,1/3)=(0,1/3) und hier ist beispielsweise 1/3 schon gar nicht mehr enthalten. Der endliche Durchschnitt enthält also immer nur das n-te Intervall, und der unendliche Durchschnitt ist somit die leere Menge.
Wie ich das nun für den unendlichen Durchschnitt zeigen soll, habe ich leider nicht verstanden ![[keineahnung]](/images/smileys/keineahnung.gif "[keineahnung]")
Viele Grüße
Elefanti
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(Antwort) fertig | | Datum: | 17:03 Mi 03.10.2007 | | Autor: | rainerS |
Hallo elefanti,
du könntest zum Beispiel einen Widerspruchsbeweis bauen: Angenommen, der unendliche Durchschnitt sei nicht leer. Dann gibt es eine Zahl [mm]a\in\IR[/mm], die darin liegt. a muss also in allen offenen Intervallen [mm](0,1/n)[/mm] liegen. Wir können daher [mm]a<1[/mm] annehmen. Kannst du den Widerspruch selbst konstruieren?
Viele Grüße
Rainer
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:10 Mi 03.10.2007 | | Autor: | elefanti |
Hallo,
> du könntest zum Beispiel einen Widerspruchsbeweis bauen:
> Angenommen, der unendliche Durchschnitt sei nicht leer.
> Dann gibt es eine Zahl [mm]a\in\IR[/mm], die darin liegt. a muss
> also in allen offenen Intervallen [mm](0,1/n)[/mm] liegen. Wir
> können daher [mm]a<1[/mm] annehmen. Kannst du den Widerspruch selbst
> konstruieren?
>
Ich habe zwar schon mehrere Widerspruchsbeweise geführt, aber bei dieser Aufgabe habe ich irgendwie ein Problem. Ich kann a ja nicht frei wählen, selbst wenn man a:=1/(n-1) setzt und zeigt, dass (0, 1/n-1) [mm] \cap [/mm] (0,1/n) nicht a enthält, kann es ja ein anderes a geben, dass in allen Durchschnitten enthalten ist.
Viele Grüße
Elefanti
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(Antwort) fertig | | Datum: | 19:40 Mi 03.10.2007 | | Autor: | koepper |
Hallo,
ich hatte in meinem Beitrag oben doch eine Anleitung zum Beweis gegeben. War die so unverständlich?
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:48 Mo 08.10.2007 | | Autor: | elefanti |
Hallo,
ich weiß, meine Frage ist schon länger her, aber ich dachte, dass ich noch drauf kommen würde, und habe mich erst anderen Themen gewidmet...
Ehrlich gesagt, habe ich keine Ahnung wie ich "1. Zeige, daß der Durchschnitt all dieser Intervalle eine Teilmenge von $ [mm] \IR [/mm] $ ist. " das zeigen kann.
Liebe Grüße
Elefanti
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(Antwort) fertig | | Datum: | 23:40 Mo 08.10.2007 | | Autor: | koepper |
Hallo elefanti,
die Aussage, daß der Durchschnitt all dieser Intervalle eine Teilmenge von [mm]\IR[/mm] ist, ist eigentlich auch völlig trivial. Denn hier wird der Durchschnitt von Intervallen gebildet. Und alle Intervalle sind Teilmengen von [mm] $\IR$. [/mm] Also ist auch der Durchschnitt eine Teilmenge von [mm] $\IR$.
[/mm]
Nur gehört diese Trivialität korrekterweise dazu, wenn man zeigen will, daß eine Menge leer ist.
Denn wenn du bloß zeigst, daß kein Element aus [mm] $\IR$ [/mm] in dieser Menge liegt, dann könnten ja theoretisch noch irgendwelche anderen Elemente, die gar keine reellen Zahlen sind, in dieser Menge liegen.
Konzentriere dich also am besten auf Punkt 2. Du kannst so beginnen:
Sei $r [mm] \in \IR$. [/mm] Wir setzen $m := [mm] \ldots$ [/mm] ... jetzt bist du dran...
Dann liegt r nicht in [mm] $I_m$, [/mm] denn [mm] $\frac{1}{m} [/mm] < r$. Also liegt r auch nicht im Schnitt dieser Intervall.
Also liegt kein $r [mm] \in \IR$ [/mm] im Schnitt dieser Intervalle. Damit ist der Schnitt leer.
Meine verbalen Erklärungen könntest du zT noch in Termdarstellung bringen.
Liebe Grüße und gute N8,
Will
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 12:05 Di 09.10.2007 | | Autor: | elefanti |
Hallo Will,
vielen Dank für deine ausführliche Antwort!
Wir wissen: r<1. Sei [mm] m\in\IN [/mm] und m>(1/r). Dann liegt r nicht in [mm] I_m, [/mm] denn (1/m)<r.
Ist das richtig?
Liebe Grüße
Elefanti
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 22:42 Di 09.10.2007 | | Autor: | koepper |
genau richtig, elefanti ![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
Gruß
Will
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 10:20 Mi 10.10.2007 | | Autor: | elefanti |
Hallo Will,
vielen Dank für deine Antworten 
Liebe Grüße
Elefanti
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