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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 17:12 Sa 09.01.2016 | | Autor: | Canibusm |
| Aufgabe | Für x, y [mm] \in \IR^{2} [/mm] sei
d(x,y) := [mm] \wurzel{(x_{1}-y_{1})^{2} + (x_{2}-y_{2})^{2}}
[/mm]
T(x,y) := [mm] max(|x_{1}-y_{1}|, |x_{2}-y_{2}|)
[/mm]
p(x,y) := [mm] |x_{1}-y_{1}| [/mm] + [mm] |x_{2}-y_{2}|
[/mm]
d, T und p sind Metriken im [mm] \IR^{2}.
[/mm]
Wann eine Teilmenge A eines beliebigen metrischen Raumes offen heißt, hängt per Definition von der gewählten Metrik ab. Zeigen Sie für jede beliebige Teilmenge A [mm] \subseteq \IR^{2}
[/mm]
A ist d-offen [mm] \gdw [/mm] A ist T-offen [mm] \gdw [/mm] A ist p-offen. |
Eine Teilmenge A eines beliebigen metrischen Raumes heißt offen, wenn die Menge aller inneren Punkte (der Teilmenge) gleich der Teilmenge selbst ist.
Ein Punkt x [mm] \in [/mm] A heißt innerer Punkt von A, wenn ein [mm] \beta>0 [/mm] existiert mit [mm] U_{\beta}(x) \subseteq [/mm] A.
Mit der Definition komme ich hier nicht wirklich weiter. Auch ist mir der Zusammenhang zwischen beliebigen Teilmengen und Metriken im gleichen Raum (hier: [mm] \IR^{2}) [/mm] noch nicht klar.
Vielen Dank im Voraus schon einmal für eure Hilfe!
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 17:53 Sa 09.01.2016 | | Autor: | hippias |
Du hast ja keine Frage gestellt, daher:
Kannst Du mir einmal ein Beispiel für eine $d$-offene Menge des [mm] $\IR^{2}$ [/mm] nennen, inklusive Beweis, dass sie tatsächlich $d$-offen ist?
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