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| Aufgabe 1 | | Zu [mm]P \in R^n[/mm] definieren wir [mm]G_p:= \{ x \in G | \exists c: [ 0,1]\to G, \text{ stetig, so dass } c(0)=P, c(1) =x\}[/mm] . Zeigen sie, dass für eine offene Menge G die Menge [mm]G_p[/mm] ein Gebiet ist |
| Aufgabe 2 | | Zeigen Sie, dass für jedes [mm]P \in G[/mm] auch [mm]G \G_p[/mm] offen ist. |
Hallo,
von der Definition her heisst eine offene Menge ein Gebiet, wenn zu je 2 Punkten [mm]P,Q \in G[/mm] eine stetige Abbildung [mm]c :[0,1] \to G[/mm] so gefunden werden kann, dass [mm] c(0) = P, c(1) = Q[/mm] gilt.
Wenn man sich jetzt Aufgabe eins betrachtet, dann folgt die Lösung meiner Meinung nach schon aus der Definition. Das [mm]G_p[/mm]wurde ja so komplett als ein Gebiet definiert. Deswegen verstehe ich hier nicht wirklich das Problem dieser Aufgabe. Oder mache ich irgendwo einen gewaltigen Denkfehler?
Ich habe die Aufgabe 2 auch hingeschrieben, möchte aber nur Tipps zu Aufgabe 1 haben.
Vielen Dank schon mal in Vorraus
MfG
deavilaxn
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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Hiho,
eins vorweg: Nächstemal bitte schauen, ob auch alles mit der Aufgabe passt, sonst ist sie wirklich schwer zu lesen 
Ich vermute mal, sie soll so heissen:
> Zu [mm]P \in R^n[/mm] definieren wir [mm]G_p:= \{x \in G | \exists c: [ 0,1]\to G \text{ stetig, so dass }c(0)=P, c(1) =x\}[/mm]. Zeigen sie, dass für eine offene Menge G die Menge [mm]G_p[/mm] ein Gebiet ist
> Wenn man sich jetzt Aufgabe eins betrachtet, dann folgt
> die Lösung meiner Meinung nach schon aus der Definition.
> Das [mm]G_p[/mm]wurde ja so komplett als ein Gebiet definiert.
Wenn es für dich so anschaulich ist, dann ist es ja schön, du musst es nur noch zeigen
Der Unterschied zwischen der Definition von [mm] G_p [/mm] und dem eines Gebietes ist folgender:
Bei einem Gebiet gibt es zwischen zwei beliebigen Punkten P,Q eine stetige Abbildung, wie von dir beschrieben, in [mm] G_p [/mm] gibt es diese Abbildung ERSTMAL NUR zwischen einem beliebigen Punkt Q und dem FESTEN Punkt P.
D.h. wenn du nun zwei beliebige Punkte A,B aus [mm] G_p [/mm] nimmst, musst du zeigen, dass es auch zwischen diesen einen solchen Weg gibt (wenn dir klar ist, wie [mm] G_p [/mm] aussieht, ist es auch nicht wirklich schwer, da hast du recht).
MFG,
Gono.
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Danke für die Antwort.
Für diese beliebigen [mm] A, B \in G_p [/mm] muss nur gelten, dass [mm] A[/mm] = c(0) und [mm]B[/mm] = c(1) ist, richtig? Ich habe das Gefühl, dass ich es immer noch zu einfach sehe und dabei einen wichtigen Punkt übersehe :/
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> Danke für die Antwort.
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> Für diese beliebigen [mm]A, B \in G_p[/mm] muss nur gelten, dass [mm]A[/mm]
> = c(0) und [mm]B[/mm] = c(1) ist, richtig?
Ja, es muss so eine Abbildung $c: [0,1] [mm] \rightarrow G_p$ [/mm] geben mit $c(0) = A, c(1) = B$.
Es liegt nun an dir zu zeigen, dass es eine solche Abbildung auch gibt.
> Ich habe das Gefühl,
> dass ich es immer noch zu einfach sehe und dabei einen
> wichtigen Punkt übersehe :/
Naja, du hast erstmal nur hingeschrieben, was gelten MUSS.
Ich behaupte jetzt, es gibt so eine Abbildung c gar nicht. Widerlege mich! Das kannst du
MFG,
Gono.
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